edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Meetkunde en tekeningen›Cirkels

Booglengte en sectoroppervlakte

In 20 minuten bestrijkt de punt van een minutenwijzer van 10 cm een hoek van 120°, een derde van de wijzerplaat, en legt hij ongeveer 20.9 cm af.

Probeer dit eerst: de punt van een minutenwijzer

Een wandklok heeft een minutenwijzer van 10 cm lang. Hoe ver legt de punt af tussen 3:00 en 3:20? Probeer het zelf voordat je verder leest. Je hebt alleen kennis uit de eerdere hoofdstukken nodig.

  1. Een minutenwijzer is 10 cm lang. Hoe ver legt de punt in 20 minuten af? (gebruik 3.14 voor π, twee decimalen)

Twee feiten geven het antwoord. De minutenwijzer draait in 60 minuten helemaal rond, dus 360°. Dat is 6° per minuut en 120° in 20 minuten. Bij een volledige omwenteling volgt de punt een cirkel met straal 10 cm, een afstand van 2π × 10 ≈ 62.8 cm. Twintig minuten is 120 van de 360 graden, dus een derde omwenteling. De punt legt daarom een derde van die afstand af, ongeveer 20.9 cm. Het pad van de punt is een boog. Het gebied waar de wijzer overheen beweegt, is een sector met een middelpuntshoek van 120°.

Boog en oppervlakte zijn hetzelfde deel van de cirkel

De redenering met de klok werkt voor elke sector. Een sector met middelpuntshoek θ beslaat θ/360 van een volledige omwenteling. Zijn boog is dus θ/360 van de omtrek: booglengte ℓ = 2πr × θ/360. Dezelfde breuk geldt voor de oppervlakte, want de sector is θ/360 van de hele schijf: sectoroppervlakte S = πr² × θ/360. In een cirkel met straal 6 cm beslaat een sector van 60° een zesde van de cirkel. De boog is 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm en de oppervlakte π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm². Andersom is een boog van 5π cm bij straal 10 cm gelijk aan 5π ÷ 20π = 1/4 van de omtrek. De middelpuntshoek is dus 90°.

Bogen en sectoroppervlakten zijn evenredig met de middelpuntshoek: verdubbel de hoek en beide verdubbelen. Voor koorden geldt dat niet. Bij straal 10 snijdt een middelpuntshoek van 60° een koorde van lengte 10 af, omdat de driehoek met de twee stralen gelijkzijdig is. Een hoek van 120° geeft een koorde van ongeveer 17.3, niet 20. De boog verdubbelt ondertussen van ongeveer 10.5 naar 20.9. De rechte koorde snijdt de bocht af. Hoe groter de hoek, hoe meer lengte dat scheelt. Gelijke hoeken geven wel gelijke koorden: Euclides bewijst in Boek III, Propositie 28 dat gelijke koorden in gelijke cirkels gelijke bogen afsnijden.

Links staat een sector met middelpuntshoek θ, straal r en boog ℓ. Rechts zie je in een cirkel met straal 10 dat de oranje hoek van 60° een koorde van 10 en een boog van ongeveer 10.5 heeft. De blauwe hoek van 120° heeft een tweemaal zo lange boog, ongeveer 20.9, maar een koorde van slechts ongeveer 17.3.

Sectoroppervlakte zonder hoek

Vermenigvuldig de booglengte met de halve straal en kijk wat eruit komt: ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. Dat is opnieuw de sectoroppervlakte, dus S = ½rℓ. Het lijkt op de driehoeksformule, de helft van basis maal hoogte. Daar is een goede reden voor: een smalle sector is bijna een driehoek met de boog als basis en de straal als hoogte. Een sector met straal 8 cm en booglengte 10 cm heeft oppervlakte ½ × 8 × 10 = 40 cm², zonder dat je de hoek nodig hebt. Dit is de formule achter de gebogen zijkant van een kegel.

Het 3D-model wordt geladen

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Deze kegel heeft r = 3 cm en h = 4 cm, dus de schuine hoogte l is 5 cm. Druk op Uitvouwen: de gebogen zijkant wordt een vlakke sector met straal 5 cm. De boog zat om het grondvlak heen en is dus 2π × 3 cm lang. De middelpuntshoek is 360° × 3/5 = 216°. De manteloppervlakte is ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm², de πrl in het paneel.

Elk cirkeldiagram bestaat uit sectoren

Een cirkeldiagram is een cirkel verdeeld in sectoren met middelpuntshoeken die elk een deel van 360° zijn. Een categorie van 25% van het totaal krijgt een sector met middelpuntshoek 0.25 × 360° = 90°. In het diagram hieronder kochten 16 van de 50 leerlingen 3 boeken: 16 ÷ 50 = 32%, en 0.32 × 360° = 115.2°. Omdat oppervlakte evenredig is met de hoek, is het aandeel van de sectoroppervlakte in het geheel hetzelfde als het aandeel van het aantal.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Klik op een sector. Het paneel toont het percentage en de middelpuntshoek in graden. De zes hoeken tellen op tot 360°.
Een cirkelsegment, het gebied tussen een koorde en haar boog, is een sector min een driehoek. Bij straal 10 cm heeft het segment van 90° een oppervlakte van 25π − 50 ≈ 28.54 cm². Dat is de kwartcirkel min de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 10 en 10.

Boog ℓ = 2πr × θ/360. Oppervlakte S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Straal 6 cm, middelpuntshoek 60°. Bepaal de booglengte (gebruik 3.14 voor π).
  2. Straal 6 cm, middelpuntshoek 60°. Bepaal de sectoroppervlakte (gebruik 3.14 voor π).
  3. Een cirkel heeft straal 10 cm. Een boog is 5π cm lang. Wat is de middelpuntshoek?
  4. Een sector heeft straal 8 cm en booglengte 10 cm. Bepaal de oppervlakte.
  5. In een cirkeldiagram is een categorie 25% van het totaal. Wat is de middelpuntshoek?
  6. Een sector van een cirkeldiagram heeft een middelpuntshoek van 72°. Welk deel van het totaal is dat?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. Een kegel heeft een grondvlak met straal 3 cm en een schuine hoogte van 5 cm. Opengevouwen is de zijkant een sector. Wat is de middelpuntshoek?
  8. Je verdubbelt in één cirkel een middelpuntshoek. Welke grootheden verdubbelen?
    • de boog en de sectoroppervlakte
    • de boog, de oppervlakte en de koorde
    • alleen de koorde
    • niets
  9. Een pizza van 30 cm wordt in 8 gelijke stukken gesneden. Hoe lang is de korstrand van één stuk? (gebruik 3.14 voor π)
  10. Bepaal de oppervlakte van het segment dat wordt afgesneden door een middelpuntshoek van 90° in een cirkel met straal 10 cm (gebruik 3.14 voor π).
  11. Hoeveel graden draait een minutenwijzer in 15 minuten?
Veelgemaakte fouten
  • ‘Booglengte = πr² × θ/360.’ Dat is de formule voor de oppervlakte. De booglengte volgt uit de omtrek 2πr en meet je in cm. De oppervlakte volgt uit πr² en meet je in cm².
  • ‘Verdubbel je de middelpuntshoek, dan verdubbelt de koorde ook.’ Alleen boog en oppervlakte zijn evenredig met de hoek. Bij straal 10 zijn de koorden voor 60° en 120° 10 en ongeveer 17.3.
  • ‘Een sector van 45° in een cirkel met diameter 8 heeft boog 2π × 8 × 45/360.’ De formule gebruikt de straal. Met r = 4 is de boog 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, de helft van het foute antwoord.
Voor de docentHet Koreaanse nationale curriculum van 2022 vraagt in een leerdoel voor de middelbareschoolleerjaren 1 tot 3 het verband tussen middelpuntshoek en sectorboog te begrijpen en daarmee booglengte en oppervlakte te berekenen. Ingewikkelde samengestelde figuren vallen volgens het curriculum buiten de stof, dus beperk oefeningen tot sectoren, segmenten en eenvoudige combinaties. Vaak loopt het vast doordat leerlingen de twee formules als losse feiten onthouden. Begin bij een klok of pizza en vraag: ‘Welk deel van de cirkel is dit?’ Wie eerst ‘een derde’ zegt en dan pas schrijft, verwart de formules daarna zelden.
Belangrijkste punten
  • Een sector met middelpuntshoek θ is θ/360 van de cirkel.
  • Boog ℓ = 2πr × θ/360. Oppervlakte S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • Boog en oppervlakte zijn evenredig met de middelpuntshoek; de lengte van de koorde niet.
  • Cirkeldiagram: hoek = aandeel × 360°. Segment = sector − driehoek.
Bronnen van deze cursus (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Geraadpleegd: 2026-10-19