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부채꼴의 호의 길이와 넓이

길이 10 cm인 분침의 끝은 20분 동안 120°, 시계판의 3분의 1을 돌면서 약 20.9 cm를 움직입니다.

먼저 풀어 보세요: 분침 끝이 움직인 거리

벽시계의 분침 길이가 10 cm입니다. 3시부터 3시 20분까지 분침 끝은 몇 cm를 움직였을까요? 아래를 읽기 전에 먼저 풀어 보세요. 앞 단원에서 배운 것만으로 충분합니다.

  1. 분침의 길이가 10 cm입니다. 20분 동안 분침 끝이 움직인 거리는? (원주율 3.14, 소수 둘째 자리까지)

두 가지 사실이면 풀립니다. 분침은 60분에 360°를 돌므로 1분에 6°, 20분에 120°를 돕니다. 한 바퀴를 다 돌면 분침 끝은 반지름 10 cm인 원의 둘레, 10 × 2 × 3.14 = 62.8 cm를 움직입니다. 20분은 360° 가운데 120°이고 한 바퀴의 3분의 1이므로 분침 끝은 그 거리의 3분의 1인 약 20.9 cm를 움직입니다. 분침 끝이 지나간 자리는 호이고, 분침이 쓸고 지나간 영역은 중심각이 120°인 부채꼴입니다.

호와 넓이는 원 전체의 같은 몫입니다

시계에서 쓴 방법은 어떤 부채꼴에도 통합니다. 한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 중심각의 크기에 정비례합니다. 중심각이 x°인 부채꼴은 원 전체의 x/360이므로, 호의 길이는 ℓ = 2πr × x/360, 넓이는 S = πr² × x/360입니다. 반지름이 6 cm인 원에서 중심각이 60°인 부채꼴은 원의 6분의 1입니다. 호의 길이는 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm, 넓이는 π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm²입니다. 거꾸로 반지름이 10 cm인 원에서 호의 길이가 5π cm이면 원주 20π의 4분의 1이므로 중심각은 90°입니다.

호의 길이와 넓이는 중심각에 정비례해서 중심각을 2배로 하면 둘 다 2배가 됩니다. 현의 길이는 그렇지 않습니다. 반지름이 10인 원에서 중심각 60°에 대한 현은 길이가 10입니다. 두 반지름과 현이 정삼각형을 이루기 때문입니다. 중심각을 120°로 두 배 늘리면 현은 20이 아니라 약 17.3입니다. 그동안 호는 약 10.5에서 약 20.9로 정확히 2배가 됩니다. 현은 휘어진 길을 곧게 가로지르므로 각이 클수록 그만큼 덜 늘어납니다. 다만 중심각이 같으면 현의 길이도 같습니다. 유클리드는 제3권 명제 28에서 같은 원에서 길이가 같은 현은 같은 호를 잘라 낸다고 증명했습니다.

왼쪽: 중심각이 θ, 반지름이 r, 호의 길이가 ℓ인 부채꼴입니다. 오른쪽: 반지름이 10인 원에서 주황색 60°의 현은 10, 호는 약 10.5입니다. 파란색 120°는 호가 약 20.9로 2배이지만 현은 약 17.3밖에 되지 않습니다.

각 없이 구하는 부채꼴의 넓이

호의 길이에 반지름의 절반을 곱해 보면 ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × x/360 = πr² × x/360이 되어 다시 부채꼴의 넓이가 나옵니다. 그래서 S = ½rℓ입니다. 삼각형의 넓이 공식 (밑변) × (높이) ÷ 2와 닮았는데, 이유가 있습니다. 얇은 부채꼴은 밑변이 호, 높이가 반지름인 삼각형과 거의 같습니다. 반지름이 8 cm, 호의 길이가 10 cm인 부채꼴의 넓이는 ½ × 8 × 10 = 40 cm²이고, 중심각은 몰라도 됩니다. 원뿔의 옆넓이도 이 공식으로 구합니다.

3D 모형을 불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

반지름 3 cm, 높이 4 cm인 원뿔이라서 모선의 길이는 5 cm입니다. 「펼치기」를 누르면 옆면이 반지름 5 cm인 부채꼴로 펼쳐집니다. 이 부채꼴의 호는 밑면 둘레를 감고 있던 부분이라 길이가 2π × 3 cm이고, 중심각은 360° × 3/5 = 216°입니다. 옆넓이는 ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm²로, 아래 칸의 πrl과 같습니다.

원그래프의 조각도 부채꼴입니다

원그래프는 원을 360°의 몫만큼 중심각을 나눠 가진 부채꼴들로 자른 그래프입니다. 전체의 25%를 차지하는 항목은 중심각이 0.25 × 360° = 90°인 조각이 됩니다. 아래 그래프에서 학생 50명 가운데 16명이 책을 3권 샀으므로 16 ÷ 50 = 32%이고, 중심각은 0.32 × 360° = 115.2°입니다. 부채꼴의 넓이는 중심각에 정비례하므로 조각의 넓이도 전체에서 같은 비율을 차지합니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

조각을 눌러 보세요. 아래 칸에 그 조각의 백분율과 중심각이 나옵니다. 여섯 조각의 중심각을 더하면 360°입니다.
활꼴의 넓이는 부채꼴에서 삼각형을 빼서 구합니다. 반지름이 10 cm인 원에서 중심각이 90°인 활꼴은 사분원 25π에서 두 변이 10인 직각삼각형 50을 뺀 25π − 50 ≈ 28.54 cm²입니다.

호의 길이 ℓ = 2πr × x/360. 넓이 S = πr² × x/360 = ½ r ℓ.

  1. 반지름 6 cm, 중심각 60°인 부채꼴의 호의 길이는? (원주율 3.14)
  2. 반지름 6 cm, 중심각 60°인 부채꼴의 넓이는? (원주율 3.14)
  3. 반지름이 10 cm인 원에서 호의 길이가 5π cm입니다. 중심각의 크기는?
  4. 반지름이 8 cm, 호의 길이가 10 cm인 부채꼴의 넓이는?
  5. 원그래프에서 전체의 25%인 항목의 중심각은?
  6. 원그래프에서 중심각이 72°인 조각은 전체의 얼마일까요?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. 밑면의 반지름이 3 cm, 모선의 길이가 5 cm인 원뿔의 옆면을 펼친 부채꼴의 중심각은?
  8. 한 원에서 중심각을 2배로 하면 2배가 되는 것은?
    • 호의 길이와 부채꼴의 넓이
    • 호의 길이, 넓이, 현의 길이 모두
    • 현의 길이만
    • 2배가 되는 것은 없다
  9. 지름 30 cm 피자를 똑같이 8조각으로 잘랐습니다. 한 조각의 테두리(호)의 길이는? (원주율 3.14)
  10. 반지름이 10 cm인 원에서 중심각 90°에 대한 활꼴의 넓이는? (원주율 3.14)
  11. 분침은 15분 동안 몇 도를 돌까요?
자주 하는 실수
  • 「호의 길이 = πr² × x/360」 이 식은 넓이 공식입니다. 호의 길이는 원주 2πr에서 나오고 단위가 cm, 넓이는 πr²에서 나오고 단위가 cm²입니다.
  • 「중심각이 2배이면 현의 길이도 2배이다.」 중심각에 정비례하는 것은 호의 길이와 넓이뿐입니다. 반지름이 10인 원에서 60°와 120°의 현은 10과 약 17.3입니다.
  • 「지름이 8인 원에서 중심각 45°의 호는 2π × 8 × 45/360」 공식에는 반지름이 들어갑니다. 반지름 4를 넣으면 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14로, 잘못 구한 값의 절반입니다.
선생님 메모2022 개정 교육과정에서는 중학교 1~3학년군 [9수03-06]에서 부채꼴의 중심각과 호의 관계를 이해하고 이를 이용해 호의 길이와 넓이를 구합니다. 고려 사항에 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않는다고 되어 있으니 연습은 부채꼴, 활꼴, 간단한 조합에서 멈추는 것이 좋습니다. 흔히 막히는 곳은 두 공식을 따로 외우는 데서 옵니다. 시계판이나 피자에서 시작해 「이건 원 전체의 몇 분의 몇일까?」를 먼저 묻게 하세요. 식을 쓰기 전에 「3분의 1」이라고 말할 수 있는 학생은 나중에 공식을 거의 헷갈리지 않습니다.
핵심 정리
  • 중심각이 x°인 부채꼴은 원 전체의 x/360입니다.
  • 호의 길이 ℓ = 2πr × x/360, 넓이 S = πr² × x/360 = ½ r ℓ.
  • 호의 길이와 넓이는 중심각에 정비례하지만 현의 길이는 그렇지 않습니다.
  • 원그래프의 중심각 = 비율 × 360°. 활꼴 = 부채꼴 − 삼각형.
이 과정의 출처 (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

확인한 날: 2026-10-19