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Start›Geometrie und Zeichnungen›Kreise

Bogenlänge und Sektorfläche

In 20 Minuten dreht sich ein 10 cm langer Minutenzeiger um 120°, ein Drittel des Zifferblatts. Seine Spitze legt etwa 20.9 cm zurück.

Probier es zuerst: die Minutenzeigerspitze

Eine Wanduhr hat einen 10 cm langen Minutenzeiger. Wie weit bewegt sich seine Spitze von 3:00 bis 3:20? Versuch es vor dem Weiterlesen. Die bisherigen Einheiten reichen.

  1. Ein Minutenzeiger ist 10 cm lang. Wie weit bewegt sich seine Spitze in 20 Minuten? (π = 3.14, zwei Dezimalstellen)

Zwei Fakten reichen: In 60 Minuten dreht sich der Zeiger um 360°, also 6° pro Minute und 120° in 20 Minuten. Eine volle Drehung führt die Spitze auf einem Kreis mit Radius 10 cm entlang, Strecke 2π × 10 ≈ 62.8 cm. 20 Minuten sind 120 von 360 Grad, ein Drittel. Die Spitze legt ein Drittel der Strecke zurück, etwa 20.9 cm. Ihr Weg ist ein Bogen, der überstrichene Bereich ein Sektor mit Mittelpunktswinkel 120°.

Bogen und Fläche haben denselben Kreisanteil

Die Überlegung mit der Uhr funktioniert für jeden Sektor. Ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel θ umfasst θ/360 einer vollen Drehung, also ist sein Bogen θ/360 des Umfangs lang: Bogenlänge ℓ = 2πr × θ/360. Derselbe Bruchteil gilt für die Fläche, denn der Sektor ist θ/360 der gesamten Kreisscheibe: Sektorfläche S = πr² × θ/360. In einem Kreis mit Radius 6 cm ist ein Sektor mit 60° ein Sechstel des Kreises. Sein Bogen ist 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm lang und seine Fläche beträgt π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm². Umgekehrt ist ein Bogen von 5π cm in einem Kreis mit Radius 10 cm genau 5π ÷ 20π = 1/4 des Umfangs, also beträgt sein Mittelpunktswinkel 90°.

Bögen und Sektorflächen sind proportional zum Mittelpunktswinkel: doppelter Winkel, doppelte Werte. Sehnen nicht. Bei Radius 10 gehört zu 60° eine Sehne von 10, denn das Dreieck mit zwei Radien ist gleichseitig. Zu 120° gehört eine Sehne von etwa 17.3, nicht 20. Der Bogen verdoppelt sich dagegen von etwa 10.5 auf 20.9. Die gerade Sehne kürzt die Biegung ab, bei größerem Winkel umso mehr. Gleiche Winkel ergeben aber gleiche Sehnen: Euklid beweist in III.28, dass gleiche Sehnen in gleichen Kreisen gleiche Bögen abschneiden.

Links: Sektor mit Mittelpunktswinkel θ, Radius r und Bogen ℓ. Rechts: Bei Radius 10 hat der orange 60°-Winkel Sehne 10 und Bogen etwa 10.5; der blaue 120°-Winkel doppelten Bogen, etwa 20.9, aber nur Sehne etwa 17.3.

Sektorfläche ohne Winkel

Multipliziere die Bogenlänge mit dem halben Radius: ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. Wieder die Sektorfläche, also S = ½rℓ. Sie ähnelt der Dreiecksformel „halbe Grundseite mal Höhe“, und das hat einen Grund: Ein dünner Sektor ist fast ein Dreieck mit Bogen als Grundseite und Radius als Höhe. Bei Radius 8 cm und Bogen 10 cm ist S = ½ × 8 × 10 = 40 cm², ganz ohne Winkel. Darauf beruht die Kegelmantelfläche.

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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

Ein Kegel mit r = 3 cm und h = 4 cm hat Mantellinie l = 5 cm. Drücke Aufklappen: Der Mantel wird zum Sektor mit Radius 5 cm. Sein Bogen lag um die Grundfläche, ist also 2π × 3 cm lang; Winkel 360° × 3/5 = 216°. Mantelfläche: ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm², das πrl im Bedienfeld.

Jedes Kreisdiagramm besteht aus Sektoren

Ein Kreisdiagramm ist ein Kreis, der in Sektoren geteilt ist, deren Mittelpunktswinkel Anteile von 360° sind. Eine Kategorie, die 25% des Ganzen ausmacht, erhält ein Stück mit dem Mittelpunktswinkel 0.25 × 360° = 90°. Im Diagramm unten haben 16 von 50 Lernenden 3 Bücher gekauft: 16 ÷ 50 = 32%, und 0.32 × 360° = 115.2°. Weil die Fläche proportional zum Winkel ist, ist die Fläche eines Stücks derselbe Anteil am Ganzen wie seine Anzahl.

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Klicke ein Stück an. Im Bedienfeld stehen Prozentanteil und Mittelpunktswinkel in Grad. Alle sechs Winkel ergeben zusammen 360°.
Ein Kreissegment zwischen Sehne und Bogen ist Sektor minus Dreieck. Bei Radius 10 cm hat das 90°-Segment Fläche 25π − 50 ≈ 28.54 cm²: Viertelkreis minus rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 10 und 10.

Bogen ℓ = 2πr × θ/360. Fläche S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Radius 6 cm, Mittelpunktswinkel 60°. Finde die Bogenlänge (π = 3.14).
  2. Radius 6 cm, Mittelpunktswinkel 60°. Finde die Sektorfläche (π = 3.14).
  3. Ein Kreis hat Radius 10 cm. Ein Bogen ist 5π cm lang. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel?
  4. Ein Sektor hat Radius 8 cm und Bogenlänge 10 cm. Finde seine Fläche.
  5. Eine Kategorie hat 25% im Kreisdiagramm. Wie groß ist ihr Mittelpunktswinkel?
  6. Ein Kreisdiagrammstück hat Winkel 72°. Welcher Bruchteil des Ganzen ist das?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. Ein Kegel hat Grundradius 3 cm und Mantellinie 5 cm. Sein aufgeklappter Mantel ist ein Sektor. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel?
  8. Du verdoppelst einen Mittelpunktswinkel. Was verdoppelt sich?
    • Bogen und Sektorfläche
    • Bogen, Fläche und Sehne
    • nur die Sehne
    • nichts
  9. Eine Pizza von 30 cm wird in 8 gleiche Stücke geschnitten. Wie lang ist der Krustenrand eines Stücks? (π = 3.14)
  10. Finde die Fläche des Segments, das ein Mittelpunktswinkel von 90° in einem Kreis mit dem Radius 10 cm abschneidet (verwende 3.14 für π).
  11. Um wie viele Grad dreht sich ein Minutenzeiger in 15 Minuten?
Häufige Fehler
  • „Bogenlänge = πr² × θ/360.“ Das ist die Formel für die Fläche. Die Bogenlänge ergibt sich aus dem Umfang 2πr und wird in cm gemessen; die Fläche ergibt sich aus πr² und wird in cm² gemessen.
  • „Doppelter Mittelpunktswinkel, doppelte Sehne.“ Nur Bögen und Flächen sind proportional zum Winkel. Bei Radius 10 sind die Sehnen zu 60° und 120° gleich 10 und etwa 17.3.
  • „Ein 45°-Sektor mit Durchmesser 8 hat Bogen 2π × 8 × 45/360.“ Du brauchst den Radius: Mit r = 4 ist der Bogen 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, halb so lang wie das falsche Ergebnis.
Hinweis für LehrkräfteIm koreanischen nationalen Lehrplan von 2022 verlangt ein Lernziel der Mittelschule, Klassen 1 bis 3, dass die Lernenden den Zusammenhang zwischen dem Mittelpunktswinkel und dem Bogen eines Sektors verstehen und damit Bogenlänge und Fläche bestimmen. Der Lehrplan sagt außerdem, dass komplizierte zusammengesetzte Figuren nicht behandelt werden, also beschränke die Übungen auf Sektoren, Segmente und einfache Kombinationen. Die häufige Hürde ist, die beiden Formeln als getrennte Fakten auswendig zu lernen. Beginne mit einem Zifferblatt oder einer Pizza und frage: „Welcher Bruchteil des Kreises ist das?“ Lernende, die „ein Drittel“ sagen, bevor sie etwas aufschreiben, verwechseln die Formeln danach selten.
Das Wichtigste
  • Ein Sektor mit Mittelpunktswinkel θ ist θ/360 des Kreises.
  • Bogen ℓ = 2πr × θ/360. Fläche S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • Bogen und Fläche sind proportional zum Mittelpunktswinkel, Sehnenlänge nicht.
  • Kreisdiagramm: Winkel = Anteil × 360°. Segment = Sektor − Dreieck.
Quellen zu diesem Kurs (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Abgerufen: 2026-10-19