edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Geometri dan gambar›Lingkaran

Panjang busur dan luas juring

Dalam 20 menit ujung jarum menit sepanjang 10 cm menyapu 120°, sepertiga muka jam, dan menempuh sekitar 20.9 cm.

Coba ini dahulu: ujung jarum menit

Sebuah jam dinding memiliki jarum menit sepanjang 10 cm. Seberapa jauh ujungnya bergerak antara 3:00 dan 3:20? Cobalah sebelum melanjutkan membaca. Kamu hanya memerlukan hal-hal yang sudah diberikan unit sebelumnya.

  1. Sebuah jarum menit panjangnya 10 cm. Berapa jauh ujungnya bergerak dalam 20 menit? (gunakan 3.14 untuk π, dua tempat desimal)

Dua fakta menyelesaikannya. Jarum menit berputar penuh, 360°, dalam 60 menit, sehingga berputar 6° setiap menit dan 120° dalam 20 menit. Satu putaran penuh membawa ujungnya mengitari lingkaran berjari-jari 10 cm, sejauh 2π × 10 ≈ 62.8 cm. Dua puluh menit adalah 120 dari 360 derajat, sepertiga putaran, sehingga ujungnya menempuh sepertiga jarak itu, sekitar 20.9 cm. Lintasan ujungnya adalah busur, dan daerah yang disapu jarum merupakan juring dengan sudut pusat 120°.

Busur dan luas adalah pecahan yang sama dari lingkaran

Penalaran pada jam berlaku untuk setiap juring. Juring dengan sudut pusat θ mengambil θ/360 dari satu putaran penuh, sehingga busurnya adalah θ/360 dari keliling: panjang busur ℓ = 2πr × θ/360. Pecahan yang sama berlaku pada luas karena juring merupakan θ/360 dari seluruh daerah lingkaran: luas juring S = πr² × θ/360. Dalam lingkaran berjari-jari 6 cm, juring 60° adalah seperenam lingkaran. Panjang busurnya 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm dan luasnya π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm². Sebaliknya, busur 5π cm dalam lingkaran berjari-jari 10 cm merupakan 5π ÷ 20π = 1/4 keliling, sehingga sudut pusatnya 90°.

Panjang busur dan luas juring sebanding dengan sudut pusat: jika sudutnya dua kali lipat, keduanya juga dua kali lipat. Tali busur tidak demikian. Dalam lingkaran berjari-jari 10, sudut pusat 60° membentuk tali busur sepanjang 10, karena segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari merupakan segitiga sama sisi. Sudut 120° membentuk tali busur sepanjang sekitar 17.3, bukan 20. Sementara itu, panjang busurnya berlipat dua dari sekitar 10.5 menjadi sekitar 20.9. Tali busur lurus memotong lengkungan, dan semakin lebar sudutnya, semakin besar jarak yang dihemat. Namun, sudut yang sama tetap memberikan tali busur yang sama panjang: dalam Buku III, Proposisi 28, Euclid membuktikan bahwa pada lingkaran-lingkaran yang sama besar, tali busur sama panjang membatasi busur yang sama panjang.

Kiri: juring dengan sudut pusat θ, jari-jari r, dan busur ℓ. Kanan: dalam lingkaran berjari-jari 10, sudut oranye 60° memiliki tali busur sepanjang 10 dan busur sekitar 10.5; sudut biru 120° memiliki busur dua kali lebih panjang, sekitar 20.9, tetapi tali busurnya hanya sekitar 17.3.

Luas juring tanpa sudut

Kalikan panjang busur dengan setengah jari-jari dan lihat hasilnya: ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. Hasilnya kembali menjadi luas juring, sehingga S = ½rℓ. Rumus ini menyerupai rumus segitiga, setengah hasil kali alas dan tinggi, dan ada alasannya: juring yang tipis hampir merupakan segitiga dengan busur sebagai alas dan jari-jari sebagai tinggi. Juring berjari-jari 8 cm dengan busur sepanjang 10 cm memiliki luas ½ × 8 × 10 = 40 cm², tanpa perlu mengetahui sudutnya. Inilah rumus yang mendasari luas selimut kerucut.

Memuat model 3D

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Sebuah kerucut dengan r = 3 cm dan h = 4 cm, sehingga garis pelukis l adalah 5 cm. Tekan Buka jaring-jaring: sisi lengkungnya mendatar menjadi juring berjari-jari 5 cm. Busurnya dahulu melilit alas, jadi panjang busurnya 2π × 3 cm, dan sudut pusatnya 360° × 3/5 = 216°. Luas sisi lengkungnya ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm², yaitu πrl pada panel.

Diagram lingkaran tersusun dari juring

Diagram lingkaran adalah lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring dengan sudut pusat berupa bagian dari 360°. Kategori yang mencakup 25% keseluruhan mendapat potongan dengan sudut pusat 0.25 × 360° = 90°. Pada diagram di bawah, 16 dari 50 siswa membeli 3 buku: 16 ÷ 50 = 32%, dan 0.32 × 360° = 115.2°. Karena luas sebanding dengan sudut, bagian luas setiap potongan terhadap keseluruhan sama dengan bagian jumlahnya.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Klik sebuah irisan. Panel menampilkan bagiannya dalam persen dan sudut pusatnya dalam derajat. Keenam sudut berjumlah 360°.
Tembereng (daerah di antara tali busur dan busurnya) adalah juring dikurangi segitiga. Dalam lingkaran berjari-jari 10 cm, luas tembereng 90° adalah 25π − 50 ≈ 28.54 cm²: luas seperempat lingkaran dikurangi luas segitiga siku-siku dengan kaki sepanjang 10 dan 10.

Busur ℓ = 2πr × θ/360. Luas S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Jari-jari 6 cm, sudut pusat 60°. Cari panjang busur (gunakan 3.14 untuk π).
  2. Jari-jari 6 cm, sudut pusat 60°. Cari luas juring (gunakan 3.14 untuk π).
  3. Sebuah lingkaran berjari-jari 10 cm. Sebuah busur panjangnya 5π cm. Berapa sudut pusatnya?
  4. Sebuah juring berjari-jari 8 cm dan panjang busurnya 10 cm. Cari luasnya.
  5. Pada sebuah diagram lingkaran, satu kategori adalah 25% dari total. Berapa sudut pusatnya?
  6. Sebuah irisan diagram lingkaran memiliki sudut pusat 72°. Berapa bagian dari total yang diwakilinya?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. Sebuah kerucut berjari-jari alas 3 cm dan garis pelukis 5 cm. Jika dibuka, sisi lengkungnya berupa juring. Berapa sudut pusatnya?
  8. Pada satu lingkaran kamu menggandakan sudut pusat. Besaran mana yang ikut menjadi dua kali lipat?
    • busur dan luas juring
    • busur, luas, dan tali busur
    • hanya tali busur
    • tidak ada yang menjadi dua kali lipat
  9. Sebuah pizza 30 cm dipotong menjadi 8 irisan sama besar. Berapa panjang tepi kerak satu irisan? (gunakan 3.14 untuk π)
  10. Cari luas tembereng yang dipotong oleh sudut pusat 90° pada lingkaran berjari-jari 10 cm (gunakan 3.14 untuk π).
  11. Berapa derajat jarum menit berputar dalam 15 menit?
Kesalahan umum
  • "Panjang busur = πr² × θ/360." Itulah rumus luas. Panjang busur diturunkan dari keliling lingkaran 2πr dan diukur dalam cm; luas diturunkan dari πr² dan diukur dalam cm².
  • "Gandakan sudut pusat, gandakan tali busur." Hanya busur dan luas yang sebanding dengan sudut. Pada lingkaran berjari-jari 10, tali busur untuk 60° dan 120° adalah 10 dan sekitar 17.3.
  • "Juring 45° pada lingkaran berdiameter 8 memiliki busur 2π × 8 × 45/360." Rumus memakai jari-jari. Dengan r = 4, busurnya 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, setengah dari jawaban yang salah.
Catatan untuk guruDalam kurikulum nasional Korea 2022, salah satu standar untuk kelas 1 sampai 3 SMP meminta siswa memahami hubungan sudut pusat dengan busur juring dan menggunakannya untuk mencari panjang busur serta luas. Kurikulum juga menyatakan bahwa bangun gabungan yang rumit tidak dibahas, jadi batasi latihan pada juring, tembereng, dan gabungan sederhana. Hambatan yang umum terjadi adalah menghafal kedua rumus sebagai fakta terpisah. Mulailah dari muka jam atau piza dan tanyakan “ini berapa bagian dari lingkaran?” Siswa yang menjawab “sepertiga” sebelum menulis apa pun jarang tertukar menggunakan rumus setelahnya.
Poin penting
  • Juring dengan sudut pusat θ adalah θ/360 dari lingkaran.
  • Busur ℓ = 2πr × θ/360. Luas S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • Busur dan luas sebanding dengan sudut pusat; panjang tali busur tidak.
  • Diagram lingkaran: sudut = bagian × 360°. Tembereng = juring − segitiga.
Sumber kursus ini (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Diperiksa: 2026-10-19