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Inicio›Geometría y dibujos›Circunferencias

Longitud de arco y área de sector

En 20 minutos, la punta de un minutero de 10 cm recorre 120°, un tercio de la esfera del reloj, y avanza unos 20.9 cm.

Prueba primero: la punta de un minutero

Un reloj de pared tiene un minutero de 10 cm. ¿Qué distancia recorre su punta entre las 3:00 y las 3:20? Inténtalo antes de seguir. Solo necesitas lo aprendido en las unidades anteriores.

  1. Un minutero mide 10 cm. ¿Qué distancia recorre su punta en 20 minutos? (usa 3.14 para π, dos decimales)

Bastan dos hechos. El minutero da una vuelta completa, 360°, en 60 minutos: gira 6° por minuto y 120° en 20 minutos. En una vuelta, la punta recorre una circunferencia de radio 10 cm, una distancia de 2π × 10 ≈ 62.8 cm. Veinte minutos son 120 de 360 grados, un tercio de vuelta; por tanto, recorre un tercio de la distancia, unos 20.9 cm. Su trayectoria es un arco y la región que barre es un sector de ángulo central 120°.

El arco y el área son la misma fracción del círculo

El razonamiento del reloj sirve para cualquier sector. Un ángulo central θ ocupa θ/360 de una vuelta, así que su arco es θ/360 de la circunferencia: longitud de arco ℓ = 2πr × θ/360. La misma fracción se aplica al área porque el sector ocupa θ/360 del disco: área de sector S = πr² × θ/360. En un círculo de radio 6 cm, un sector de 60° es la sexta parte del círculo. Su arco mide 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm y su área es π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm². Al revés, un arco de 5π cm en una circunferencia de radio 10 cm es 5π ÷ 20π = 1/4 de ella, así que su ángulo central es 90°.

Los arcos y las áreas de sector son proporcionales al ángulo central: al duplicarlo, ambos se duplican. Las cuerdas no. En una circunferencia de radio 10, un ángulo central de 60° determina una cuerda de longitud 10 porque el triángulo con dos radios es equilátero. Uno de 120° determina una cuerda de unos 17.3, no 20. El arco sí se duplica de unos 10.5 a unos 20.9. La cuerda recta ataja la curva; cuanto mayor es el ángulo, más ahorra. Los ángulos iguales sí dan cuerdas iguales: Euclides demuestra en la proposición 28 del libro III que, en circunferencias iguales, cuerdas iguales determinan arcos iguales.

Izquierda: un sector de ángulo central θ, radio r y arco ℓ. Derecha: en una circunferencia de radio 10, el ángulo naranja de 60° tiene cuerda 10 y arco de unos 10.5; el azul de 120° tiene el doble de arco, unos 20.9, pero una cuerda de solo unos 17.3.

Un área de sector sin conocer el ángulo

Multiplica la longitud del arco por la mitad del radio: ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. Vuelves a obtener el área de sector, así que S = ½rℓ. Se parece a la fórmula del triángulo, mitad de base por altura, por un buen motivo: un sector estrecho es casi un triángulo cuya base es el arco y cuya altura es el radio. Un sector de radio 8 cm y arco de 10 cm tiene área ½ × 8 × 10 = 40 cm², sin necesitar el ángulo. Esta fórmula permite calcular la superficie lateral de un cono.

Cargando el modelo 3D

Arrastra para girar. Usa la rueda de desplazamiento o separa y junta dos dedos para cambiar el zoom.

Un cono con r = 3 cm y h = 4 cm tiene generatriz l de 5 cm. Presiona Desplegar: la superficie lateral se aplana en un sector de radio 5 cm. Su arco rodeaba la base, así que mide 2π × 3 cm y el ángulo central es 360° × 3/5 = 216°. El área lateral es ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm², el πrl del panel.

Toda gráfica circular se compone de sectores

Una gráfica circular es un círculo dividido en sectores cuyos ángulos centrales son partes de 360°. Una categoría con 25% del total recibe un sector de ángulo central 0.25 × 360° = 90°. En la gráfica siguiente, 16 de 50 estudiantes compraron 3 libros: 16 ÷ 50 = 32%, y 0.32 × 360° = 115.2°. Como el área es proporcional al ángulo, la porción de área del sector coincide con su proporción del recuento total.

Cargando

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Haz clic en un sector. En el panel verás su proporción en porcentaje y su ángulo central en grados. Los seis ángulos suman 360°.
Un segmento circular (región entre una cuerda y su arco) es un sector menos un triángulo. En un círculo de radio 10 cm, el segmento de 90° tiene área 25π − 50 ≈ 28.54 cm²: el cuarto de círculo menos el triángulo rectángulo de catetos 10 y 10.

Arco ℓ = 2πr × θ/360. Área S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Radio 6 cm, ángulo central 60°. Halla la longitud de arco (usa 3.14 para π).
  2. Radio 6 cm, ángulo central 60°. Halla el área del sector (usa 3.14 para π).
  3. Una circunferencia tiene radio 10 cm. Un arco mide 5π cm. ¿Cuál es su ángulo central?
  4. Un sector tiene radio 8 cm y arco de 10 cm. Halla su área.
  5. En una gráfica circular, una categoría tiene 25% del total. ¿Cuál es su ángulo central?
  6. Un sector de una gráfica circular tiene ángulo central de 72°. ¿Qué fracción del total representa?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. Un cono tiene radio de base 3 cm y generatriz 5 cm. Al desplegarlo, su superficie lateral es un sector. ¿Cuál es el ángulo central?
  8. En una circunferencia duplicas un ángulo central. ¿Qué cantidades se duplican?
    • el arco y el área del sector
    • el arco, el área y la cuerda
    • solo la cuerda
    • ninguna se duplica
  9. Una pizza de 30 cm se divide en 8 rebanadas iguales. ¿Cuánto mide el borde de corteza de una rebanada? (usa 3.14 para π)
  10. Halla el área del segmento circular determinado por un ángulo central de 90° en un círculo de radio 10 cm (usa 3.14 para π).
  11. ¿Cuántos grados gira un minutero en 15 minutos?
Errores frecuentes
  • «Longitud de arco = πr² × θ/360». Esa es la fórmula del área. La longitud de arco se obtiene de la circunferencia 2πr y se mide en cm; el área, de πr², y se mide en cm².
  • «Si duplicas el ángulo central, se duplica la cuerda». Solo los arcos y las áreas son proporcionales al ángulo. En una circunferencia de radio 10, las cuerdas para 60° y 120° miden 10 y unos 17.3.
  • «Un sector de 45° de una circunferencia de diámetro 8 tiene arco 2π × 8 × 45/360». La fórmula usa el radio. Con r = 4, el arco es 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, la mitad de la respuesta incorrecta.
Nota para docentesEn el currículo nacional coreano de 2022, un estándar de secundaria, grados 1 a 3, pide comprender la relación entre el ángulo central y el arco de un sector y usarla para hallar longitud de arco y área. También excluye figuras compuestas complicadas, así que limita los ejercicios a sectores, segmentos circulares y combinaciones sencillas. La dificultad habitual es memorizar las dos fórmulas como hechos separados. Empieza con un reloj o una pizza y pregunta «¿qué fracción del círculo es?». Quienes dicen «un tercio» antes de escribir rara vez confunden las fórmulas después.
Ideas clave
  • Un sector de ángulo central θ ocupa θ/360 del círculo.
  • Arco ℓ = 2πr × θ/360. Área S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • El arco y el área son proporcionales al ángulo central; la longitud de la cuerda no.
  • Gráficas circulares: ángulo = proporción × 360°. Segmento circular = sector − triángulo.
Fuentes de este curso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Fecha de consulta: 2026-10-19