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Ángulos centrales e inscritos

Une cualquier punto de una circunferencia con los extremos de un diámetro: el ángulo en ese punto mide exactamente 90°. Euclides lo demostró en la proposición 31 del libro III.

Tres proposiciones del libro de Euclides sobre circunferencias

ContextoEl libro III de los Elementos de Euclides, dedicado a las circunferencias, contiene una breve cadena de resultados que aún se enseñan. La proposición 20 afirma que el ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia cuando ambos abarcan el mismo arco. La 21 la aplica enseguida: los ángulos en el mismo segmento son iguales. La 31 afirma que el ángulo en una semicircunferencia es recto; en la edición de D. E. Joyce se señala que suele llamarse teorema de Tales. Cada demostración ocupa pocas líneas y usa dos hechos del libro I: los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales (proposición 5) y un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes (proposición 32).

Primero, los nombres. Toma dos puntos A y B de una circunferencia con centro O. El ángulo AOB, con vértice en el centro, es un ángulo central. Toma un tercer punto C en la circunferencia, al otro lado del arco AB. El ángulo ACB tiene el vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas: es un ángulo inscrito. Euclides dice que abarca el arco AB. El teorema trata de un ángulo central y uno inscrito que abarcan el mismo arco.

Por qué el ángulo inscrito es la mitad del central

Esta es la demostración de Euclides para la figura habitual, con el centro dentro del ángulo ACB. Traza la recta de C por O y llama D a su segunda intersección con la circunferencia. El triángulo OCA es isósceles porque OC y OA son radios; sus ángulos en C y A son iguales: llama x a cada uno. El ángulo AOD es exterior a ese triángulo, así que equivale a x + x = 2x. El mismo razonamiento al otro lado, con OCB, da ángulo BOD = 2y, donde y es el ángulo OCB. Suma ambas partes. El ángulo central AOB es 2x + 2y y el inscrito ACB es x + y. El central es el doble del inscrito.

Izquierda: ángulo central AOB (azul) e inscrito ACB (naranja) sobre el mismo arco AB. La línea discontinua de C por O hasta D divide la figura en dos triángulos isósceles, como en la demostración de Euclides. Derecha: AB es un diámetro, así que el ángulo en C, y en cualquier otro punto C′ de la circunferencia, es 90°.

Si el centro queda fuera del ángulo ACB, aparecen los mismos dos triángulos, pero restas en lugar de sumar. Euclides también trata ese caso al final de la proposición 20. En ambos casos se cumple: un ángulo inscrito es la mitad del central sobre el mismo arco.

Los ángulos inscritos que abarcan un mismo arco son iguales

Desliza C por el mismo arco. El ángulo central AOB no cambia y tampoco su mitad. Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales: es la proposición 21. Un fotógrafo situado en cualquier punto de ese arco ve el escenario AB bajo el mismo ángulo. Si C y D están en arcos opuestos de la cuerda AB, los dos ángulos inscritos suman 180° porque sus ángulos centrales completan una vuelta de 360°. Por eso los ángulos opuestos de un cuadrilátero con sus cuatro vértices en una circunferencia suman 180° (Euclides, proposición 22).

El ángulo en una semicircunferencia

Sea ahora AB un diámetro. El ángulo central AOB es llano, de 180°, así que cualquier ángulo inscrito que lo abarca mide 90°. Es la proposición 31. También funciona al revés: si C está en la circunferencia y ACB mide 90°, el ángulo central sobre AB es 180° y AB debe ser un diámetro. Así puedes hallar el centro de una tabla redonda con una escuadra. Pon su esquina recta sobre el borde, marca dónde los dos brazos cruzan el borde y une las marcas: es un diámetro. Repite y los dos diámetros se cruzarán en el centro.

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A y B son los extremos de un diámetro de una circunferencia de radio 1.25 (no dibujada); C empieza sobre ella, así que su ángulo indica 90°. Arrastra C un poco hacia arriba, fuera de la circunferencia: el ángulo baja de 90°. Arrástralo hacia AB, al interior, y supera 90°. Luego pon C arriba, justo sobre el punto medio de AB: vuelve a 90°, con 45° en A y en B. La proposición 31 de Euclides afirma lo mismo: el ángulo en un segmento mayor que un semicírculo es menor que uno recto; en uno menor, es mayor.
Todo triángulo rectángulo cabe en una circunferencia cuyo diámetro es su hipotenusa. Con catetos 6 y 8, la hipotenusa es 10; la circunferencia por sus tres vértices tiene radio 5 y centro en el punto medio de la hipotenusa.
  1. Un ángulo central mide 100°. ¿Cuánto mide un inscrito que abarca el mismo arco?
  2. Un ángulo inscrito mide 35°. ¿Cuánto mide el central que abarca el mismo arco?
  3. AB es un diámetro y C está en la circunferencia. El ángulo CAB mide 25°. ¿Cuánto mide CBA?
  4. C y D están en el mismo arco. El ángulo ACB mide 40°. El ángulo ADB es:
    • 40°
    • 80°
    • 20°
    • 140°
  5. El ángulo central medido por el arco mayor AB es 240°. ¿Cuánto mide un inscrito que abarca ese arco mayor?
  6. Un cuadrilátero tiene los cuatro vértices en una circunferencia. Un ángulo mide 70°. ¿Cuánto mide el opuesto?
  7. En el triángulo OAB, O es el centro y el ángulo central AOB mide 80°. ¿Cuánto mide OAB?
  8. C está en una circunferencia y el ángulo ACB = 90°. ¿Qué puedes afirmar sobre AB?
    • es un diámetro
    • es una tangente
    • es la mitad de un radio
    • no se puede afirmar nada
  9. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que pasa por sus tres vértices?
  10. A y B son los extremos de un diámetro. P está dentro del círculo, no sobre la circunferencia. El ángulo APB es:
    • mayor que 90°
    • exactamente 90°
    • menor que 90°
    • siempre 45°
  11. C y D están en arcos opuestos de la cuerda AB. El ángulo ACB mide 40°. ¿Cuánto mide ADB?
Errores frecuentes
  • «El ángulo inscrito es igual al central». El inscrito es la mitad. Su vértice está más lejos, en la circunferencia, así que el ángulo es más estrecho.
  • «El ángulo central es la mitad del inscrito». Es al revés. Un ángulo central de 100° corresponde a un ángulo inscrito de 50°. Piensa en la semicircunferencia: el ángulo central mide 180° y el inscrito, 90°.
  • «El ángulo en una semicircunferencia solo es 90° cuando C está arriba». Cualquier punto de la circunferencia salvo A y B da 90°. Arrastra C por ella en el laboratorio de trigonometría: solo cambian los ángulos en A y B.
Nota para docentesEn el currículo nacional coreano de 2022, el ángulo inscrito aparece en secundaria, grados 1 a 3, en un estándar que pide comprender y justificar sus propiedades. Ángulo inscrito está en la lista de términos. Se excluyen las propiedades de circunferencias vinculadas con proporciones, así que resultados como el teorema de las cuerdas que se cortan quedan fuera. El paso que suele omitirse es separar los casos: se demuestra con el centro dentro del ángulo y se da por hecho el resto. Dibuja tres figuras juntas, con el centro dentro, sobre un lado y fuera del ángulo, y pregunta qué paso cambia en cada una.
Ideas clave
  • Un ángulo inscrito es la mitad del central sobre el mismo arco (Euclides III.20).
  • Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales (III.21).
  • El ángulo en una semicircunferencia es 90° (III.31); recíprocamente, un inscrito de 90° abarca un diámetro.
  • Los ángulos inscritos en arcos opuestos de una cuerda suman 180°.
Fuentes de este curso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Fecha de consulta: 2026-10-19