Tangentes: el ángulo recto en el punto de contacto y las longitudes iguales de las tangentes

Desde un punto a 13 cm del centro de una circunferencia de radio 5 cm, ambos segmentos tangentes miden exactamente 12 cm.

Una rueda sobre el camino

Observa una bicicleta sobre un camino plano. La llanta lo toca en un punto, así que el camino es una recta tangente. El radio desde el eje hasta ese punto es vertical y el camino, horizontal: forman un ángulo recto. En una pendiente, ese radio ya no es vertical, pero sigue siendo perpendicular al camino. No es una propiedad exclusiva de las bicicletas: en toda circunferencia y para cualquier tangente, el radio hasta el punto de tangencia es perpendicular a ella.

Euclides lo demuestra por contradicción en la proposición 18 del libro III. Supón que el radio OT hasta el punto de tangencia no fuera perpendicular a la tangente. Traza desde O la perpendicular a esa recta, con pie en otro punto G. En el triángulo OGT, el ángulo G es recto; por tanto, el lado opuesto OT es el más largo y OG es menor que OT. Pero OT es un radio. Un punto de la recta a menos de un radio de O estaría dentro del círculo, y una tangente nunca entra en él. Por eso G no puede existir y el propio OT es perpendicular. También vale el recíproco, como corolario de la proposición 16: una recta perpendicular a un radio por su extremo exterior es tangente a la circunferencia.

Dos tangentes desde un punto tienen la misma longitud

Desde un punto exterior P puedes trazar exactamente dos tangentes, con puntos de tangencia T y T′. Los segmentos PT y PT′ miden lo mismo. Une O con T, T′ y P. Los triángulos OTP y OT′P tienen ángulos rectos en T y T′. Comparten OP y OT = OT′ porque ambos son radios. Por Pitágoras, PT² = OP² − r² y PT′² = OP² − r², así que PT = PT′. En la misma figura ves que OP biseca el ángulo TPT′, pues los dos triángulos son reflejos uno del otro. PT se llama longitud de la tangente desde P.

El teorema de Pitágoras también da la longitud. Con OP = 13 cm y r = 5 cm, PT² = 169 − 25 = 144, así que PT = 12 cm en ambos lados. Al revés, si una tangente de 15 cm llega a una circunferencia de radio 8 cm, el punto está a √(225 + 64) = √289 = 17 cm del centro. En el cuadrilátero PTOT′, los ángulos T y T′ miden 90° cada uno, así que el ángulo en P y TOT′ suman 180°. Si las tangentes forman 50°, los radios forman 130°.

Trazar las tangentes con compás

Para trazar las tangentes desde P, necesitas los puntos T donde OTP mide 90°. En la unidad 5 ya encontraste todos esos puntos: están en la circunferencia de diámetro OP. Halla el punto medio M de OP, traza la circunferencia de centro M que pasa por O y P; corta la primera en T y T′. Une P con ambos. La construcción de Euclides en la proposición 17 del libro III sigue otro camino, con una circunferencia de centro O que pasa por P y una perpendicular desde la primera circunferencia, pero termina con el mismo ángulo recto en el contacto.

Respuestas breves a partir de tangentes iguales

Con tangentes iguales, algunos problemas se resuelven casi de inmediato. Traza desde P dos tangentes de 10 cm. Luego traza una tercera que toque la circunferencia en algún lugar del arco cercano y forme un triángulo pequeño con P. Su perímetro siempre es 20 cm, toque donde toque la tercera tangente. Cada extremo de esta es un punto exterior con dos tangentes iguales; por eso el tercer lado se divide en dos partes que coinciden con las partes recortadas de PT y PT′. La misma idea vale para un cuadrilátero circunscrito: desde cada vértice parten dos segmentos tangentes iguales, así que las sumas de lados opuestos son iguales. Con lados consecutivos 5, 6 y 9, el cuarto es 5 + 9 − 6 = 8.