원의 접선: 접점에서의 직각과 접선의 길이

반지름이 5 cm인 원의 중심에서 13 cm 떨어진 점에서 원에 그은 두 접선은 길이가 똑같이 12 cm입니다.

도로 위에 선 자전거 바퀴

평평한 도로에 선 자전거를 보세요. 바퀴는 도로와 한 점에서 닿으므로 도로는 바퀴의 접선입니다. 바퀴 중심에서 그 점까지 내린 반지름은 수직이고 도로는 수평이니, 둘은 직각으로 만납니다. 비탈길에서는 닿는 점이 옮겨 가지만, 그 점까지 그은 반지름은 여전히 길과 직각입니다. 자전거에만 있는 성질이 아닙니다. 어떤 원이든, 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직입니다.

유클리드는 『원론』 제3권 명제 18에서 이것을 귀류법으로 증명합니다. 접점 T까지 그은 반지름 OT가 접선과 수직이 아니라고 해 봅시다. 그러면 O에서 접선에 수선을 내릴 수 있고, 그 수선의 발을 T가 아닌 점 G라고 합시다. 삼각형 OGT는 G에서 직각이므로 직각의 대변인 OT가 가장 긴 변이고, OG는 OT보다 짧습니다. 그런데 OT는 반지름입니다. 중심에서 반지름보다 가까운 점은 원의 안쪽에 있으니, 접선 위의 점 G가 원 안에 들어가게 됩니다. 접선은 원 안으로 들어가지 않으므로 이런 G는 있을 수 없고, OT가 바로 수선입니다. 거꾸로도 성립합니다. 명제 16의 따름정리에 따르면 반지름의 바깥쪽 끝에서 반지름에 수직으로 그은 직선은 원에 접합니다.

점 P에서 그은 두 접선이 원과 T, T′에서 접합니다. 반지름은 접선과 접점에서 수직으로 만납니다. 같은 눈금은 PT = PT′을 나타냅니다.

한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같습니다

원 밖의 한 점 P에서 원에 그을 수 있는 접선은 정확히 두 개이고, 두 접점을 T, T′이라고 합시다. 두 선분 PT와 PT′의 길이는 같습니다. O와 T, T′, P를 이어 봅시다. 삼각형 OTP와 OT′P는 각각 T와 T′에서 직각입니다. 두 삼각형은 빗변 OP를 함께 쓰고, OT와 OT′은 둘 다 반지름이라 길이가 같습니다. 피타고라스 정리에 따라 PT² = OP² − r², PT′² = OP² − r²이므로 PT = PT′입니다. 두 직각삼각형이 OP를 사이에 두고 대칭이니 OP는 ∠TPT′을 이등분하기도 합니다. 이때 선분 PT의 길이를 점 P에서 원에 그은 접선의 길이라고 합니다.

접선의 길이도 피타고라스 정리로 구합니다. OP = 13 cm, r = 5 cm이면 PT² = 169 − 25 = 144이므로 두 접선의 길이는 모두 12 cm입니다. 거꾸로 반지름 8 cm인 원에 그은 접선의 길이가 15 cm이면 그 점은 원의 중심에서 √(225 + 64) = √289 = 17 cm 떨어져 있습니다. 사각형 PTOT′에서 T와 T′의 각은 90°씩이므로 ∠P와 ∠TOT′의 합은 180°입니다. 두 접선이 50°로 만나면 두 반지름이 이루는 각은 130°입니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

이 직각삼각형을 접선 그림으로 읽어 보세요. 각 θ가 있는 꼭짓점이 원 밖의 점 P, 위쪽 꼭짓점이 원의 중심 O이고, 직각인 꼭짓점이 접점 T입니다. 빗변은 OP, 세로 변(대변)은 반지름, 가로 변(이웃변)은 접선의 길이 PT입니다. OP = 5, θ = 37°이면 반지름은 약 3.009, 접선의 길이는 약 3.993으로 세 변이 3, 4, 5에 가깝습니다. 각은 그대로 두고 빗변을 바꾸면 반지름과 접선의 길이가 함께 커집니다.

컴퍼스로 접선 긋기

점 P에서 접선을 그으려면 ∠OTP가 90°인 원 위의 점 T를 찾으면 됩니다. 그런 점들은 5단원에서 이미 찾았습니다. 모두 OP를 지름으로 하는 원 위에 있습니다. OP의 중점 M을 찾아 M을 중심으로 O와 P를 지나는 원을 그리면, 이 원이 처음 원과 만나는 두 점이 T와 T′입니다. P와 각각을 이으면 두 접선이 됩니다. 유클리드는 제3권 명제 17에서 다른 길을 택합니다. O를 중심으로 P를 지나는 원을 그리고 처음 원에서 수선을 세우는 방법인데, 결국 접점에서 직각을 만든다는 점은 같습니다.

같은 접선의 길이로 짧게 푸는 문제

접선의 길이가 같다는 사실 하나로 거의 계산 없이 풀리는 문제가 있습니다. 점 P에서 길이가 10 cm인 두 접선을 긋고, 그 사이 가까운 쪽 호에 세 번째 접선을 그어 P와 함께 작은 삼각형을 만듭니다. 세 번째 접선이 어디에 접하든 이 삼각형의 둘레는 언제나 20 cm입니다. 세 번째 접선의 양 끝도 원 밖의 점이라 거기서 그은 두 접선의 길이가 같으므로, 세 번째 변의 두 조각이 PT와 PT′에서 잘려 나간 조각과 길이가 같기 때문입니다. 원에 외접하는 사각형도 같습니다. 꼭짓점마다 길이가 같은 접선이 두 개씩 나오므로 마주 보는 두 변의 길이의 합이 서로 같습니다. 차례로 5, 6, 9인 세 변이 있으면 나머지 한 변은 5 + 9 − 6 = 8입니다.

접선의 길이를 점 P와 원 사이의 가장 짧은 거리와 헷갈리지 마세요. OP = 13, r = 5이면 OP를 따라 원까지의 거리는 13 − 5 = 8이지만 접선의 길이는 12입니다. 접선은 다른 점 T까지 가고, 언제나 더 깁니다.

접선과 반지름	접점에서 서로 수직(『원론』 제3권 명제 18)
한 점에서 그은 두 접선	길이가 같다: PT = PT′
접선의 길이	PT = √(OP² − r²)
사각형 PTOT′의 각	∠P + ∠TOT′ = 180°
원 안의 점	그 점을 지나는 접선은 없다

반지름이 5 cm인 원의 중심에서 13 cm 떨어진 점에서 그은 접선의 길이는?
반지름이 6 cm인 원의 중심에서 10 cm 떨어진 점에서 그은 접선의 길이는?
반지름이 8 cm인 원에 그은 접선의 길이가 15 cm입니다. 원 밖의 점에서 원의 중심까지의 거리는?
점 P에서 그은 두 접선이 이루는 각이 50°입니다. 두 접점까지 그은 반지름이 이루는 ∠TOT′은?
두 접점까지 그은 반지름이 이루는 각이 120°입니다. 두 접선이 P에서 이루는 각은?
접점에서 반지름과 접선이 이루는 각은?
- 90°
- 45°
- 180°
- 원에 따라 다르다
점 P에서 그은 두 접선의 길이가 10 cm씩입니다. 세 번째 접선으로 P와 함께 삼각형을 만들었을 때 이 삼각형의 둘레는?
원 안의 한 점을 지나는 접선은 몇 개일까요?
- 없다
- 1개
- 2개
- 셀 수 없이 많다
반지름이 0.5 m인 원의 중심에서 1.3 m 떨어진 점에서 그은 접선의 길이는?
반지름의 원 위쪽 끝에서 반지름에 수직으로 그은 직선은?
- 접선
- 할선
- 지름
- 현
원에 외접하는 사각형에서 차례로 이어진 세 변이 5 cm, 6 cm, 9 cm입니다. 나머지 한 변의 길이는?

자주 하는 실수

「접선의 길이 = OP − 반지름」 OP − r는 P에서 원까지 가장 가까운 거리입니다. 접선은 T까지 가고 길이는 √(OP² − r²)입니다. OP = 13, r = 5이면 8이 아니라 12입니다.
「두 접선이 이루는 각과 두 반지름이 이루는 각은 같다.」 사각형 PTOT′에 직각이 두 개 있으므로 두 각의 합이 180°입니다. 같아지는 것은 둘 다 90°일 때뿐입니다.
「원에 닿는 직선도 원 안을 조금 지나갈 수 있다.」 원과 만나서 안으로 들어간 직선은 다시 나오면서 원과 한 번 더 만나야 합니다. 그러면 접선이 아니라 할선입니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 이 내용은 중학교 1~3학년군 [9수03-18] 「원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화할 수 있다」에 있습니다. 접선, 접점, 접한다는 용어 목록에 있고, 고려 사항에는 「접선의 길이」라는 말을 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다고 적혀 있습니다. 학생들은 접선을 눈대중으로 긋다가 원을 살짝 파고들거나 빗나가게 그리곤 합니다. 삼각자를 주고 한 변을 접점까지 그은 반지름에 맞춘 뒤 다른 변을 따라 긋게 해 보세요. 직각이 접선을 만들어 줍니다. 유클리드의 명제 18을 도구로 바꾼 방법입니다.

핵심 정리

원의 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이고(『원론』 제3권 명제 18), 반지름의 끝에서 반지름에 수직인 직선은 접선입니다.
원 밖의 한 점에서 그은 접선은 두 개이고, 두 접선의 길이는 같습니다.
접선의 길이 PT = √(OP² − r²)
사각형 PTOT′에서 ∠P + ∠TOT′ = 180°입니다. 원에 외접하는 사각형은 마주 보는 두 변의 길이의 합이 같습니다.

이 과정의 출처 (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

확인한 날: 2026-10-19