Tangentes: o ângulo reto no ponto de contato e os comprimentos iguais das tangentes

De um ponto a 13 cm do centro de uma circunferência de raio 5 cm, os dois segmentos tangentes medem exatamente 12 cm.

Uma roda sobre a rua

Observe uma bicicleta numa rua plana. O pneu toca a rua num ponto, então a rua é tangente. O raio do eixo até esse ponto é vertical, e a rua, horizontal: formam ângulo reto. Numa ladeira, o raio até o contato deixa de ser vertical, mas continua perpendicular à rua. Não é propriedade de bicicletas: em qualquer circunferência, o raio até o ponto de tangência é perpendicular à tangente.

Euclides demonstra isso por contradição, na proposição 18 do livro III. Suponha que o raio OT até o ponto de tangência não fosse perpendicular à tangente. Trace então, de O, uma perpendicular à reta tangente, que a encontra num ponto diferente G. No triângulo OGT, o ângulo em G é reto, então o lado oposto a ele, OT, é o maior lado, e OG é menor que OT. Mas OT é um raio. Um ponto da reta mais perto de O que um raio estaria dentro da circunferência, e uma tangente nunca entra na circunferência. Logo G não pode existir, e o próprio OT é a perpendicular. A recíproca também vale, como corolário da proposição 16: uma reta traçada perpendicularmente a um raio em sua extremidade externa toca a circunferência.

Tangentes de um mesmo ponto têm comprimentos iguais

De um ponto P fora de uma circunferência, você pode traçar exatamente duas tangentes, que tocam a circunferência em T e T′. Os segmentos PT e PT′ têm o mesmo comprimento. Una O a T, a T′ e a P. Os triângulos OTP e OT′P têm, cada um, um ângulo reto, em T e em T′. Eles compartilham o lado OP, e OT = OT′, porque ambos são raios. Pelo teorema de Pitágoras, PT² = OP² − r² e PT′² = OP² − r², então PT = PT′. A mesma figura mostra que OP divide o ângulo TPT′ ao meio, já que os dois triângulos retângulos são imagens espelhadas um do outro. O comprimento PT é chamado de comprimento da tangente a partir de P.

O teorema de Pitágoras também dá o comprimento. Com OP = 13 cm e r = 5 cm, PT² = 169 − 25 = 144, então PT = 12 cm nos dois lados. No sentido inverso, se uma tangente de 15 cm chega a uma circunferência de raio 8 cm, o ponto está a √(225 + 64) = √289 = 17 cm do centro. No quadrilátero PTOT′, os ângulos em T e em T′ medem 90° cada, então o ângulo em P e o ângulo TOT′ somam 180°. Se as tangentes se encontram formando 50°, o ângulo entre os dois raios é 130°.

Construindo as tangentes com compasso

Para traçar as tangentes de P, encontre os T em que OTP mede 90°. Na unidade 5, você já achou todos: pertencem à circunferência de diâmetro OP. Encontre o ponto médio M de OP e trace a circunferência de centro M por O e P; ela cruza a primeira em T e T′. Una P a cada um. Na proposição 17 do livro III, Euclides segue outro caminho, com circunferência de centro O por P e uma perpendicular a partir da primeira, mas chega ao mesmo ângulo reto no contato.

Respostas curtas usando tangentes iguais

Com tangentes iguais, alguns problemas ficam quase imediatos. Trace duas tangentes de P, cada uma com 10 cm. Depois uma terceira, tangente no arco próximo, formando um pequeno triângulo com P. Seu perímetro é sempre 20 cm, qualquer que seja o contato. Cada ponta da terceira tangente é um ponto externo com duas tangentes iguais; o terceiro lado se divide em partes iguais aos pedaços cortados de PT e PT′. O mesmo vale num quadrilátero circunscrito: de cada vértice saem dois segmentos tangentes iguais, então as somas dos lados opostos são iguais. Com lados consecutivos 5, 6 e 9, o quarto mede 5 + 9 − 6 = 8.