Tangenten: der rechte Winkel am Berührpunkt und gleich lange Tangentenabschnitte

Von einem Punkt 13 cm vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius 5 cm sind beide Tangentenabschnitte genau 12 cm lang.

Ein Rad auf der Straße

Sieh dir ein Fahrrad an, das auf ebener Straße steht. Der Reifen berührt die Straße in einem Punkt, also ist die Straße eine Tangente. Der Radius von der Nabe hinunter zu diesem Punkt ist senkrecht und die Straße waagerecht: Sie treffen sich in einem rechten Winkel. An einem Hang ist der Radius zum Berührpunkt nicht mehr senkrecht, steht aber trotzdem im rechten Winkel zur Straße. Das ist keine Eigenschaft von Fahrrädern. Für jeden Kreis und jede Tangente steht der Radius, der zum Berührpunkt gezogen wird, senkrecht auf der Tangente.

Euklid beweist es durch Widerspruch in Buch III, Satz 18. Angenommen, der Radius OT zum Berührpunkt stünde nicht senkrecht auf der Tangente. Fälle stattdessen von O ein Lot auf die Tangente, das sie in einem anderen Punkt G trifft. Im Dreieck OGT ist der Winkel bei G ein rechter Winkel, also ist die gegenüberliegende Seite OT die längste Seite, und OG ist kürzer als OT. Aber OT ist ein Radius. Ein Punkt auf der Geraden, der näher an O liegt als ein Radius, liegt im Inneren des Kreises, und eine Tangente dringt nie in den Kreis ein. Also kann G nicht existieren, und OT selbst ist das Lot. Auch die Umkehrung gilt, als Folgerung zu Satz 16: Eine Gerade, die am äußeren Ende eines Radius im rechten Winkel zu ihm gezogen wird, berührt den Kreis.

Zwei Tangenten von einem Punkt sind gleich lang

Von einem Punkt P außerhalb eines Kreises kannst du genau zwei Tangenten zeichnen, die die Kreislinie bei T und T′ berühren. Die Strecken PT und PT′ sind gleich lang. Verbinde O mit T, mit T′ und mit P. Die Dreiecke OTP und OT′P haben jeweils einen rechten Winkel, bei T beziehungsweise bei T′. Sie haben die Seite OP gemeinsam, und OT = OT′, weil beide Radien sind. Nach dem Satz des Pythagoras gilt PT² = OP² − r² und PT′² = OP² − r², also PT = PT′. Dasselbe Bild zeigt, dass OP den Winkel TPT′ halbiert, da die beiden rechtwinkligen Dreiecke Spiegelbilder voneinander sind. Die Länge PT heißt Tangentenlänge von P.

Mit Pythagoras findest du die Länge: OP = 13 cm und r = 5 cm ergibt PT² = 169 − 25 = 144, also PT = 12 cm auf beiden Seiten. Umgekehrt: Tangente 15 cm und Radius 8 cm ergibt Abstand √(225 + 64) = √289 = 17 cm zur Mitte. In PTOT′ sind die Winkel bei T und T′ je 90°, also ergeben der Winkel bei P und TOT′ zusammen 180°. Treffen sich Tangenten bei 50°, beträgt der Winkel zwischen den Radien 130°.

Tangenten mit dem Zirkel konstruieren

Um die Tangenten von P aus zu zeichnen, brauchst du die Punkte T, an denen der Winkel OTP 90° beträgt. Einheit 5 hat alle solchen Punkte schon gefunden: Sie liegen auf dem Kreis mit dem Durchmesser OP. Bestimme also den Mittelpunkt M von OP und zeichne den Kreis um M durch O und P, dann schneidet er den ersten Kreis in T und T′. Verbinde P mit jedem davon. Euklids eigene Konstruktion in Buch III, Satz 17 geht einen anderen Weg, indem sie einen Kreis um O durch P und eine Senkrechte vom ersten Kreis zeichnet, endet aber mit demselben rechten Winkel am Berührpunkt.

Kurze Lösungen mit gleichen Tangenten

Gleiche Tangenten vereinfachen Rätsel. Zeichne zwei von P mit je 10 cm. Eine dritte berührt den nahen Bogen und schneidet mit P ein kleines Dreieck ab. Sein Umfang ist immer 20 cm, unabhängig vom dritten Berührpunkt. Beide Enden der dritten Tangente sind äußere Punkte mit gleichen Tangentenabschnitten. Ihre beiden Teilstücke entsprechen genau den abgeschnittenen Stücken von PT und PT′. Ebenso beim Tangentenviereck: Jede Ecke liefert gleiche Abschnitte, deshalb sind gegenüberliegende Seitensummen gleich. Bei aufeinanderfolgenden Seiten 5, 6 und 9 ist die vierte 5 + 9 − 6 = 8.