Tangentes : l'angle droit au point de contact et les longueurs de tangentes égales

Depuis un point à 13 cm du centre d'un cercle de rayon 5 cm, les deux tangentes mesurent exactement 12 cm.

Une roue posée sur la route

Regarde un vélo posé sur une route plate. Le pneu touche la route en un seul point, donc la route est une tangente. Le rayon qui va du moyeu jusqu'à ce point est vertical et la route est horizontale : ils se rencontrent à angle droit. Sur une pente, le rayon vers le point de contact n'est plus vertical, mais il reste perpendiculaire à la route. Ce n'est pas une propriété des vélos. Pour tout cercle et toute tangente, le rayon mené au point de tangence est perpendiculaire à la tangente.

Euclide le démontre par l'absurde dans le livre III, proposition 18. Suppose que le rayon OT mené au point de tangence ne soit pas perpendiculaire à la tangente. Abaisse alors de O une perpendiculaire à la droite tangente, qui la rencontre en un autre point G. Dans le triangle OGT, l'angle en G est droit, donc le côté qui lui est opposé, OT, est le plus long, et OG est plus court que OT. Or OT est un rayon. Un point de la droite plus proche de O qu'un rayon se trouve à l'intérieur du cercle, et une tangente n'entre jamais dans le cercle. Donc G ne peut pas exister, et OT lui-même est la perpendiculaire. La réciproque est vraie aussi, en corollaire de la proposition 16 : une droite tracée perpendiculairement à un rayon à son extrémité extérieure touche le cercle.

Les tangentes issues d'un même point ont même longueur

D'un point P extérieur à un cercle, tu peux tracer exactement deux tangentes, qui touchent le cercle en T et en T′. Les segments PT et PT′ ont la même longueur. Relie O à T, à T′ et à P. Les triangles OTP et OT′P ont chacun un angle droit, en T et en T′. Ils ont le côté OP en commun, et OT = OT′ parce que ce sont deux rayons. D'après le théorème de Pythagore, PT² = OP² − r² et PT′² = OP² − r², donc PT = PT′. La même figure montre que OP coupe l'angle TPT′ en deux, puisque les deux triangles rectangles sont symétriques l'un de l'autre. La longueur PT s'appelle la longueur de la tangente issue de P.

Le théorème de Pythagore donne aussi la longueur. Avec OP = 13 cm et r = 5 cm, PT² = 169 − 25 = 144, donc PT = 12 cm des deux côtés. Dans l'autre sens, si une tangente de 15 cm touche un cercle de rayon 8 cm, le point est à √(225 + 64) = √289 = 17 cm du centre. Dans le quadrilatère PTOT′, les angles en T et en T′ valent 90° chacun, donc l'angle en P et l'angle TOT′ s'additionnent à 180°. Si les tangentes se rencontrent selon un angle de 50°, l'angle entre les deux rayons est de 130°.

Construire les tangentes au compas

Pour tracer les tangentes issues de P, il te faut les points T où l'angle OTP vaut 90°. L'unité 5 a déjà trouvé tous ces points : ils se trouvent sur le cercle de diamètre OP. Trouve donc le milieu M de OP, trace le cercle de centre M passant par O et P : il coupe le premier cercle en T et en T′. Relie P à chacun d'eux. La construction d'Euclide lui-même, au livre III, proposition 17, prend un autre chemin, en traçant un cercle autour de O passant par P et une perpendiculaire à partir du premier cercle, mais elle se termine par le même angle droit au point de contact.

Des réponses courtes grâce aux tangentes égales

Les tangentes égales rendent certains problèmes presque gratuits. Trace les deux tangentes issues de P, longues de 10 cm chacune. Trace ensuite une troisième tangente qui touche le cercle quelque part sur l'arc proche et qui découpe avec P un petit triangle. Son périmètre vaut toujours 20 cm, où que touche la troisième tangente. Chaque extrémité de la troisième tangente est un point extérieur qui a deux tangentes égales, donc le troisième côté se partage en deux morceaux égaux aux morceaux de PT et de PT′ qu'il retranche. La même idée marche pour un quadrilatère tracé autour d'un cercle : chaque sommet envoie deux tangentes égales, donc les sommes des côtés opposés sont égales. Avec des côtés successifs de 5, 6 et 9, le quatrième côté vaut 5 + 9 − 6 = 8.