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Accueil›Géométrie et dessins›Cercles

Angles au centre et inscrits

Relie un point du cercle aux extrémités d'un diamètre : l'angle en ce point fait exactement 90°. Euclide le démontre en III, proposition 31.

Trois propositions du livre d'Euclide sur les cercles

ContexteLe livre III des Éléments d'Euclide, consacré aux cercles, contient une courte chaîne de résultats que les cours scolaires enseignent encore. La proposition 20 dit que, dans un cercle, l'angle au centre est le double de l'angle inscrit lorsque tous deux interceptent le même arc. La proposition 21 l'utilise aussitôt : les angles dans le même segment sont égaux entre eux. La proposition 31 dit que l'angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit, et l'édition de D. E. Joyce indique que cette partie est souvent appelée théorème de Thalès. Chaque démonstration ne fait que quelques lignes et utilise deux résultats du livre I : les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux (proposition 5), et un angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés (proposition 32).

D'abord les noms. Prends deux points A et B sur un cercle de centre O. L'angle AOB, dont le sommet est au centre, est un angle au centre. Prends maintenant un troisième point C sur le cercle, de l'autre côté par rapport à l'arc AB. L'angle ACB a son sommet sur le cercle et ses deux côtés sont des cordes. C'est un angle inscrit, et Euclide dit qu'il s'appuie sur l'arc AB. Un angle au centre et un angle inscrit qui s'appuient sur le même arc forment la paire dont parle le théorème.

Pourquoi l'inscrit vaut la moitié de l'angle au centre

Voici la démonstration d'Euclide pour la figure habituelle, où le centre se trouve à l'intérieur de l'angle ACB. Trace la droite qui part de C et passe par O, et appelle D son second point d'intersection avec le cercle. Le triangle OCA est isocèle, car OC et OA sont tous deux des rayons ; ses angles en C et en A sont donc égaux : appelle chacun x. L'angle AOD est un angle extérieur de ce triangle, donc il vaut x + x = 2x. Le même raisonnement de l'autre côté, avec le triangle OCB, donne l'angle BOD = 2y, où y est l'angle OCB. Additionne les deux parties. L'angle au centre AOB vaut 2x + 2y, et l'angle inscrit ACB vaut x + y. L'angle au centre est le double de l'angle inscrit.

À gauche : l'angle au centre AOB (bleu) et l'angle inscrit ACB (orange) sur le même arc AB. La droite en pointillés qui va de C à D en passant par O partage la figure en deux triangles isocèles, comme dans la démonstration d'Euclide. À droite : AB est un diamètre, donc l'angle en C, et en tout autre point C′ du cercle, vaut 90°.

Si le centre tombe à l'extérieur de l'angle ACB, les deux mêmes triangles apparaissent, mais on soustrait au lieu d'additionner. Euclide traite aussi ce cas, à la fin de la proposition 20. Dans les deux cas le résultat tient : un angle inscrit est la moitié de l'angle au centre qui s'appuie sur le même arc.

Les inscrits interceptant le même arc sont égaux

Fais glisser C le long du même arc. L'angle au centre AOB ne bouge pas, sa moitié non plus. Tous les angles inscrits qui s'appuient sur le même arc sont égaux, c'est la proposition 21. Un photographe placé n'importe où sur cet arc voit la scène AB sous le même angle. Avec deux points C et D sur des arcs opposés de la corde AB, les deux angles inscrits s'additionnent à 180°, car leurs angles au centre font tout le tour et s'additionnent à 360°. C'est pourquoi les angles opposés d'un quadrilatère dont les quatre sommets sont sur un cercle s'additionnent à 180° (Euclide, proposition 22).

L'angle dans un demi-cercle

Prends maintenant AB comme diamètre. L'angle au centre AOB est un angle plat, de 180°, donc tout angle inscrit qui s'appuie sur lui vaut 90°. C'est la proposition 31. Cela marche aussi à l'envers : si C est sur le cercle et que l'angle ACB vaut 90°, l'angle au centre sur AB est de 180°, donc AB est forcément un diamètre. On obtient ainsi un moyen de trouver le centre d'une planche ronde avec une équerre. Pose le coin à angle droit sur le bord, marque les endroits où les deux branches coupent le bord, et la droite qui joint les marques est un diamètre. Fais-le deux fois, et les deux diamètres se croisent au centre.

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A et B sont les extrémités d'un diamètre d'un cercle de rayon 1.25 (le cercle lui-même n'est pas dessiné), et C part de ce cercle, donc l'angle en C vaut 90°. Fais glisser C un peu vers le haut, à l'extérieur du cercle : l'angle en C descend sous 90°. Fais-le glisser vers le bas, vers AB, à l'intérieur du cercle : il dépasse 90°. Puis place C au sommet du cercle, juste au-dessus du milieu de AB : 90° de nouveau, avec 45° en A et en B. La proposition 31 d'Euclide dit la même chose : l'angle dans un segment plus grand qu'un demi-cercle est plus petit qu'un angle droit, et dans un segment plus petit il est plus grand.
Un triangle rectangle s'inscrit toujours dans un cercle de diamètre égal à son hypoténuse. Avec petits côtés 6 et 8, l'hypoténuse vaut 10 ; le cercle des trois sommets a un rayon de 5 et son centre au milieu de l'hypoténuse.
  1. Un angle au centre vaut 100°. Combien vaut un inscrit sur le même arc ?
  2. Un inscrit vaut 35°. Combien vaut l'angle au centre sur le même arc ?
  3. AB est diamètre et C est sur le cercle. CAB vaut 25°. Combien vaut CBA ?
  4. C et D sont sur le même arc. ACB vaut 40°. ADB vaut :
    • 40°
    • 80°
    • 20°
    • 140°
  5. L'angle au centre suivant l'arc majeur AB vaut 240°. Combien vaut un inscrit interceptant cet arc ?
  6. Un quadrilatère a ses quatre sommets sur un cercle. Un angle vaut 70°. Combien vaut l'opposé ?
  7. Dans le triangle OAB, O est le centre et l'angle au centre AOB mesure 80°. Combien mesure l'angle OAB ?
  8. C est sur le cercle et ACB = 90°. Que peut-on dire d'AB ?
    • c'est un diamètre
    • c'est une tangente
    • c'est un demi-rayon
    • on ne peut rien dire
  9. Un triangle rectangle a pour petits côtés 6 cm et 8 cm. Quel est le rayon du cercle passant par ses trois sommets ?
  10. A et B sont les extrémités d'un diamètre. P est à l'intérieur, pas sur le cercle. APB est :
    • supérieur à 90°
    • exactement 90°
    • inférieur à 90°
    • toujours 45°
  11. C et D sont sur des arcs opposés de la corde AB. ACB vaut 40°. Combien vaut ADB ?
Erreurs fréquentes
  • « L'angle inscrit égale l'angle au centre. » L'inscrit vaut la moitié. Le sommet sur le cercle est plus éloigné ; l'angle est plus étroit.
  • « L'angle au centre vaut la moitié de l'inscrit. » C'est l'inverse. Un angle au centre de 100° va avec un angle inscrit de 50°. Imagine le demi-cercle : l'angle au centre est de 180° et l'angle inscrit de 90°.
  • « L'angle dans un demi-cercle ne vaut 90° que si C est en haut. » Tout point du cercle autre que A et B donne 90°. Déplace C sur le cercle dans le laboratoire : seuls les angles en A et B changent.
Note du professeurDans le programme national coréen de 2022, l'angle inscrit apparaît au collège, de la 1re à la 3e année, dans un objectif qui demande aux élèves de comprendre les propriétés des angles inscrits et de les justifier. Angle inscrit figure dans la liste des termes. Le programme précise aussi que les propriétés des cercles liées aux proportions ne sont pas traitées, donc des résultats comme le théorème des cordes sécantes restent hors programme. L'étape que les élèves sautent est la distinction des cas. Ils démontrent le théorème avec le centre à l'intérieur de l'angle et supposent le reste. Dessine trois figures côte à côte, avec le centre à l'intérieur de l'angle, sur l'un de ses côtés et à l'extérieur, et demande quelle étape de la démonstration change dans chaque cas.
L'essentiel
  • Un inscrit vaut la moitié de l'angle au centre sur le même arc (Euclide III.20).
  • Les inscrits interceptant le même arc sont égaux (III.21).
  • L'angle dans un demi-cercle vaut 90° (III.31) ; réciproquement, un inscrit de 90° intercepte un diamètre.
  • La somme des angles inscrits sur les arcs opposés d'une corde vaut 180°.
Sources de ce cours (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consulté le: 2026-10-19