中心角と円周角
円上の点を直径の両端と結ぶと、その点での角はちょうど90°になります。ユークリッドはこれを第III巻の命題31として証明しました。
円の巻の三つの命題
背景円を扱うユークリッド『原論』の第III巻には、現在の学校でも教えられている結果が短い連鎖として収められています。命題20は、同じ弧に対する中心角は円周角の2倍であると述べています。命題21はそれをすぐに使い、同じ弓形内にある円周角は互いに等しいと述べます。命題31は、半円に対する円周角は直角であると述べ、D. E. ジョイス版の注記では、この部分はタレスの定理と呼ばれることが多いと説明しています。どの証明もわずか数行で、第I巻の2つの事実を使います。二等辺三角形の底角は等しいという命題5と、三角形の外角は向かい合う2つの内角の和に等しいという命題32です。
まず名称を確認します。中心Oの円上に2点AとBを取ります。中心を頂点とする角AOBは中心角です。次に、弧ABの反対側にある円上の点Cを取ります。角ACBは頂点が円上にあり、両辺は弦です。これが円周角で、ユークリッドは弧ABの上に立つ角と表現します。定理が扱うのは、このように同じ弧に対する中心角と円周角の組です。
円周角が中心角の半分になる理由
中心が角ACBの内側にある普通の図で、ユークリッドの証明を見ます。CからOを通る直線を引き、再び円と交わる点をDとします。OCとOAは半径なので、三角形OCAは二等辺三角形です。CとAの角は等しく、それぞれをxとします。角AODはこの三角形の外角なので、x + x = 2xです。反対側の三角形OCBでも同様に、角OCBをyとすると、角BOD = 2yです。両側を足すと、中心角AOBは2x + 2y、円周角ACBはx + yになります。したがって中心角は円周角の2倍です。
中心が角ACBの外側にある場合も、同じ2つの三角形が現れます。ただし、足す代わりに引きます。ユークリッドは命題20の最後で、この場合も扱います。どちらでも結果は同じです。円周角は、同じ弧に対する中心角の半分になります。
同じ弧の円周角は等しい
Cを同じ弧の上で自由に動かしましょう。中心角AOBは変わらないので、その半分も変わりません。同じ弧に対する円周角はすべて等しいというのが命題21です。その弧のどこにいる写真家からも、舞台ABは同じ角度で見えます。弦ABを挟んで反対側の弧にCとDがある場合、2つの円周角の和は180°です。対応する中心角は合わせて1周し、和が360°になるからです。このため、4頂点が円上にある四角形では、向かい合う角の和が180°になります（ユークリッド、命題22）。
半円の角
ABを直径としましょう。中心角AOBは180°の平角なので、それに対する円周角はすべて90°です。これが命題31です。逆も成り立ちます。Cが円上にあり角ACBが90°なら、ABに対する中心角は180°なので、ABは直径です。これを使えば三角定規で丸い板の中心を求められます。直角の頂点を縁に置き、直角をなす2辺が縁を横切る点に印を付けます。印を結ぶ直線が直径です。2回行えば、2本の直径は中心で交わります。
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直角三角形は、斜辺を直径とする円に必ず内接します。直角を挟む2辺が6と8なら、斜辺は10です。したがって、3頂点を通る円の半径は5で、中心は斜辺の中点です。
- 中心角が100°です。同じ弧に対する円周角は何度ですか？
- 円周角が35°です。同じ弧に対する中心角は何度ですか？
- ABは直径で、Cは円上の点です。角CABは25°です。角CBAは何度ですか？
- CとDは同じ弧の上にあります。角ACBは40°です。角ADBは何度ですか？
- 40°
- 80°
- 20°
- 140°
- 優弧ABに沿って測った中心角は240°です。この優弧に対する円周角は何度ですか？
- 四角形の四つの頂点がすべて円上にあります。一つの角は70°です。向かい合う角は何度ですか？
- 三角形OABで、Oは円の中心、中心角AOBは80°です。角OABは何度ですか？
- Cは円上の点で、角ACB = 90°です。ABについて何が言えますか？
- 直径である
- 接線である
- 半径の半分である
- 何も言えない
- 直角をはさむ二辺が6 cmと8 cmの直角三角形があります。その3頂点を通る円の半径は何cmですか？
- ABは円の直径の両端です。点Pは円の内側にあり、円周上にはありません。角APBは？
- 90°より大きい
- ちょうど90°
- 90°より小さい
- 常に45°
- CとDは弦ABの反対側の弧の上にあります。角ACBは40°です。角ADBは何度ですか？
よくある間違い
- 「円周角と中心角は等しいです」 円周角は中心角の半分です。円上にある頂点のほうが遠いので、角は狭くなります。
- 「中心角は円周角の半分です」 関係は逆です。中心角100°に対応する円周角は50°です。半円を思い浮かべると、中心角は180°、円周角は90°になります。
- 「半円の角はCが最上部のときだけ90°です」 AとB以外の円上のどの点でも90°になります。実験室でCを円に沿って動かすと、変わるのはAとBの角だけです。
先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、円周角は中学校1～3年で、その性質を理解して説明する基準に登場します。「円周角」は用語一覧にもあります。一方、円と比例に関する性質は扱わないため、交わる弦の定理などは対象外です。学習者が省きがちなのは場合分けです。中心が角の内側にある場合を証明して、残りも同じだと考えてしまいます。中心が角の内側、一辺上、外側にある3つの図を並べ、それぞれ証明のどの段階が変わるか尋ねましょう。
ポイント
- 同じ弧の円周角は中心角の半分です（III.20）。
- 同じ弧の円周角は等しいです（III.21）。
- 半円に対する角は90°です（III.31）。逆に、90°の円周角は直径に対する角です。
- 弦の反対の弧上の円周角の和は180°です。
このコースの出典 (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
確認日: 2026-10-19