중심각과 원주각

원 위의 한 점을 지름의 양 끝과 이으면 그 점에 생기는 각은 언제나 90°입니다. 유클리드 『원론』 제3권 명제 31입니다.

유클리드가 원에 대해 남긴 세 명제

배경유클리드 『원론』 제3권은 원을 다루는 책입니다. 여기에 지금도 학교에서 배우는 결과가 사슬처럼 이어져 있습니다. 명제 20은 같은 호 위에 선 두 각 가운데 원의 중심에 있는 각이 원 위에 있는 각의 두 배라는 내용입니다. 명제 21은 이를 곧바로 써서 같은 활꼴 안의 각은 모두 같다고 말합니다. 명제 31은 반원 안의 각이 직각이라는 내용이고, D. E. 조이스 판의 해설은 이 부분을 흔히 탈레스의 정리라고 부른다고 덧붙입니다. 증명은 저마다 몇 줄이면 끝나고, 제1권의 두 사실만 씁니다. 이등변삼각형의 두 밑각은 같다(명제 5), 그리고 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같다(명제 32)입니다.

먼저 이름을 정합시다. 중심이 O인 원 위에 두 점 A, B가 있습니다. 꼭짓점이 원의 중심에 있는 ∠AOB가 호 AB에 대한 중심각입니다. 이제 호 AB가 아닌 쪽 원 위에 점 P를 잡습니다. 꼭짓점 P가 원 위에 있고 두 변이 모두 현인 ∠APB를 호 AB에 대한 원주각이라고 합니다. 이 정리가 다루는 것은 같은 호에 대한 중심각과 원주각의 짝입니다. 아래 그림과 증명에서는 원주각의 꼭짓점을 C로 씁니다.

원주각이 중심각의 절반인 이유

원의 중심이 ∠ACB 안쪽에 있는 경우로 유클리드의 증명을 따라가 봅시다. C에서 O를 지나는 직선을 긋고, 이 직선이 원과 다시 만나는 점을 D라고 합니다. 삼각형 OCA에서 OC와 OA는 둘 다 반지름이므로 이등변삼각형이고, C와 A에서의 두 밑각이 같습니다. 그 크기를 x라고 합시다. ∠AOD는 이 삼각형의 외각이므로 x + x = 2x입니다. 반대쪽 삼각형 OCB에서도 같은 방법으로 ∠OCB를 y라 하면 ∠BOD = 2y입니다. 두 쪽을 더하면 중심각 ∠AOB는 2x + 2y이고 원주각 ∠ACB는 x + y입니다. 그러므로 원주각의 크기는 중심각의 크기의 절반입니다.

왼쪽: 같은 호 AB에 대한 중심각 ∠AOB(파란색)와 원주각 ∠ACB(주황색)입니다. C에서 O를 지나 D까지 그은 점선이 유클리드의 증명처럼 그림을 이등변삼각형 두 개로 나눕니다. 오른쪽: AB가 지름이므로 C에서의 각도, 원 위의 다른 점 C′에서의 각도 모두 90°입니다.

원의 중심이 ∠ACB의 바깥에 있으면 같은 두 삼각형이 생기되 더하는 대신 뺍니다. 유클리드도 명제 20의 뒷부분에서 이 경우를 따로 증명했습니다. 어느 경우든 원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반입니다.

한 호에 대한 원주각은 모두 같습니다

점 C를 같은 호 위에서 어디로 옮겨도 중심각 ∠AOB는 그대로이므로 그 절반도 변하지 않습니다. 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다(명제 21). 공연장에서 무대 양 끝 A, B와 함께 원을 그리는 자리라면 어느 좌석에서나 무대가 같은 각도로 보입니다. 현 AB를 사이에 두고 반대쪽 호 위에 C와 D가 있으면 두 원주각의 합은 180°입니다. 두 원주각에 대한 중심각이 한 바퀴를 채워 합이 360°이기 때문입니다. 네 꼭짓점이 모두 원 위에 있는 사각형에서 마주 보는 두 각의 합이 180°인 까닭도 같습니다(명제 22).

반원에 대한 원주각은 90°

이제 AB가 지름인 경우를 봅시다. 중심각 ∠AOB가 평각 180°이므로 이 호에 대한 원주각은 모두 90°입니다. 명제 31입니다. 거꾸로도 성립합니다. C가 원 위에 있고 ∠ACB가 90°이면 AB에 대한 중심각이 180°이므로 AB는 지름입니다. 이것으로 둥근 판의 중심을 삼각자로 찾을 수 있습니다. 삼각자의 직각 모서리를 판의 가장자리에 대고 두 변이 가장자리와 만나는 곳에 표시하면, 두 표시를 이은 선분이 지름입니다. 두 번 하면 두 지름이 만나는 점이 원의 중심입니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

A와 B는 반지름이 1.25인 원의 지름의 양 끝입니다(원은 그리지 않았습니다). C는 그 원 위에서 출발하므로 ∠C가 90°로 나옵니다. C를 위로 조금 끌어 원 밖으로 내보내면 ∠C가 90°보다 작아지고, AB 쪽으로 끌어 원 안으로 넣으면 90°보다 커집니다. C를 AB의 한가운데 바로 위, 원의 꼭대기에 놓으면 다시 90°가 되고 A와 B는 45°씩입니다. 유클리드의 명제 31도 반원보다 큰 활꼴 안의 각은 직각보다 작고, 작은 활꼴 안의 각은 직각보다 크다고 말합니다.

직각삼각형은 빗변을 지름으로 하는 원 안에 꼭 들어갑니다. 직각을 낀 두 변이 6과 8인 직각삼각형은 빗변이 10이므로, 세 꼭짓점을 지나는 원(외접원)의 반지름은 5이고 중심은 빗변의 중점입니다.

중심각이 100°일 때 같은 호에 대한 원주각은?
원주각이 35°일 때 같은 호에 대한 중심각은?
AB가 지름이고 C가 원 위의 점입니다. ∠CAB = 25°일 때 ∠CBA는?
C와 D가 같은 호 위에 있고 ∠ACB = 40°입니다. ∠ADB는?
- 40°
- 80°
- 20°
- 140°
큰 쪽 호 AB에 대한 중심각이 240°입니다. 이 호에 대한 원주각은?
네 꼭짓점이 모두 원 위에 있는 사각형에서 한 각이 70°입니다. 마주 보는 각은?
원의 중심 O와 원 위의 두 점 A, B로 만든 삼각형 OAB에서 ∠AOB = 80°입니다. ∠OAB는?
C가 원 위에 있고 ∠ACB = 90°입니다. 현 AB는?
- 지름이다
- 접선이다
- 반지름의 절반이다
- 알 수 없다
직각을 낀 두 변이 6 cm, 8 cm인 직각삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름은?
A, B가 지름의 양 끝이고 점 P가 원의 안쪽에 있습니다. ∠APB는?
- 90°보다 크다
- 정확히 90°이다
- 90°보다 작다
- 언제나 45°이다
현 AB를 사이에 두고 반대쪽 호 위에 C와 D가 있습니다. ∠ACB = 40°일 때 ∠ADB는?

자주 하는 실수

「원주각과 중심각은 크기가 같다.」 원주각은 중심각의 절반입니다. 꼭짓점이 원 위로 멀어진 만큼 각이 좁아집니다.
「중심각이 원주각의 절반이다.」 반대입니다. 중심각 100°에 대한 원주각이 50°입니다. 반원을 떠올리면 중심각은 180°, 원주각은 90°입니다.
「반원에 대한 원주각은 C가 꼭대기에 있을 때만 90°이다.」 A, B를 뺀 원 위의 어느 점에서도 90°입니다. 실험실에서 C를 원을 따라 옮기면 A와 B의 각만 바뀝니다.

선생님 메모2022 개정 교육과정에서 원주각은 중학교 1~3학년군 [9수03-19] 「원주각의 성질을 이해하고 정당화할 수 있다」에 있고, 원주각은 용어 목록에 들어 있습니다. 고려 사항에 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않는다고 되어 있으니 두 현이 만날 때의 비례 관계 같은 내용은 넣지 않습니다. 학생들이 자주 건너뛰는 것은 경우 나누기입니다. 원의 중심이 각 안에 있는 그림 하나로 증명하고 나머지도 같다고 넘어갑니다. 원의 중심이 원주각의 안쪽, 한 변 위, 바깥쪽에 있는 세 그림을 나란히 그려 놓고, 증명의 어느 단계가 바뀌는지 묻게 해 보세요.

핵심 정리

원주각의 크기는 같은 호에 대한 중심각의 크기의 절반입니다(『원론』 제3권 명제 20).
한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다(명제 21).
반원에 대한 원주각은 90°이고(명제 31), 거꾸로 90°인 원주각의 현은 지름입니다.
한 현의 양쪽 호에 대한 두 원주각의 합은 180°입니다.

이 과정의 출처 (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

확인한 날: 2026-10-19