Middelpuntshoeken en omtrekshoeken

Verbind een willekeurig punt op een cirkel met beide uiteinden van een diameter. De hoek bij dat punt is precies 90°. Euclides bewijst dit in Boek III, Propositie 31.

Drie proposities uit Euclides’ cirkelboek

AchtergrondBoek III van Euclides' Elementen gaat over cirkels en bevat een korte reeks resultaten die nog steeds op school worden onderwezen. Propositie 20 zegt dat een middelpuntshoek tweemaal zo groot is als een omtrekshoek op dezelfde boog. Propositie 21 gebruikt dit meteen: hoeken in hetzelfde cirkelsegment zijn gelijk. Propositie 31 zegt dat de hoek in een halve cirkel recht is. Volgens de uitgave van D. E. Joyce wordt dit vaak de stelling van Thales genoemd. Elk bewijs is maar enkele regels lang en gebruikt twee feiten uit Boek I: de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk (Propositie 5), en een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken (Propositie 32).

Eerst de namen. Neem twee punten A en B op een cirkel met middelpunt O. De hoek AOB, met zijn hoekpunt in het middelpunt, is een middelpuntshoek. Neem nu een derde punt C op de cirkel, aan de andere kant van de boog AB. De hoek ACB heeft zijn hoekpunt op de cirkel en beide benen zijn koorden. Dit is een omtrekshoek. Euclides zegt dat die op de boog AB staat. Een middelpuntshoek en een omtrekshoek op dezelfde boog vormen het paar waarover de stelling gaat.

Waarom de omtrekshoek de helft van de middelpuntshoek is

Hier is Euclides' bewijs voor het gebruikelijke plaatje, waarin het middelpunt binnen hoek ACB ligt. Trek vanuit C een lijn door O en noem het tweede snijpunt met de cirkel D. Driehoek OCA is gelijkbenig omdat OC en OA allebei stralen zijn. De hoeken bij C en A zijn dus gelijk; noem ze elk x. Hoek AOD is een buitenhoek van die driehoek en is daarom x + x = 2x. Dezelfde redenering aan de andere kant, met driehoek OCB, geeft hoek BOD = 2y, waarbij y de hoek OCB is. Tel de twee delen op. Middelpuntshoek AOB is 2x + 2y en omtrekshoek ACB is x + y. De middelpuntshoek is tweemaal de omtrekshoek.

Links staan middelpuntshoek AOB in blauw en omtrekshoek ACB in oranje op dezelfde boog AB. De stippellijn van C via O naar D verdeelt de figuur in twee gelijkbenige driehoeken, zoals in Euclides' bewijs. Rechts is AB een diameter. De hoek bij C, en bij elk ander cirkelpunt C′, is daarom 90°.

Als het middelpunt buiten hoek ACB ligt, krijg je dezelfde twee driehoeken, maar trek je af in plaats van op te tellen. Euclides behandelt ook dit geval aan het einde van Propositie 20. In beide gevallen geldt hetzelfde: een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog.

Elke omtrekshoek op één boog is gelijk

Schuif C naar een andere plek langs dezelfde boog. Middelpuntshoek AOB verandert niet, dus zijn helft ook niet. Alle omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk: dat is Propositie 21. Een fotograaf ziet het podium AB vanaf elke plek op die boog onder dezelfde hoek. Liggen C en D op tegenoverliggende bogen van koorde AB, dan zijn de twee omtrekshoeken samen 180°. Hun middelpuntshoeken vormen namelijk een hele omwenteling van 360°. Daarom zijn de overstaande hoeken van een vierhoek waarvan alle hoekpunten op één cirkel liggen samen 180° (Euclides, Propositie 22).

De hoek in een halve cirkel

Laat AB nu een diameter zijn. Middelpuntshoek AOB is een gestrekte hoek van 180°, dus elke omtrekshoek erop is 90°. Dat is Propositie 31. Het geldt ook omgekeerd: ligt C op de cirkel en is hoek ACB 90°, dan is de middelpuntshoek op AB 180° en moet AB een diameter zijn. Hiermee vind je met een geodriehoek het middelpunt van een rond bord. Leg de rechte hoek op de rand en markeer waar de twee benen de rand kruisen. De lijn tussen die markeringen is een diameter. Doe dit twee keer: de twee diameters snijden elkaar in het middelpunt.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

A en B zijn de uiteinden van een diameter van een cirkel met straal 1.25. De cirkel zelf is niet getekend. C begint op die cirkel, dus bij hoek C staat 90°. Sleep C iets omhoog, buiten de cirkel: hoek C wordt kleiner dan 90°. Sleep C omlaag naar AB, binnen de cirkel: de hoek wordt groter dan 90°. Zet C daarna bovenaan de cirkel, recht boven het midden van AB. De hoek is weer 90°, met 45° bij A en B. Euclides' Propositie 31 zegt hetzelfde: in een segment groter dan een halve cirkel is de hoek kleiner dan een rechte hoek, en in een kleiner segment is hij groter.

Een rechthoekige driehoek past altijd in een cirkel waarvan de hypotenusa de diameter is. Een driehoek met rechthoekszijden 6 en 8 heeft een hypotenusa van 10. De cirkel door zijn drie hoekpunten heeft dus straal 5 en als middelpunt het midden van de hypotenusa.

Een middelpuntshoek is 100°. Wat is een omtrekshoek op dezelfde boog?
Een omtrekshoek is 35°. Wat is de middelpuntshoek op dezelfde boog?
AB is een diameter en C ligt op de cirkel. Hoek CAB is 25°. Hoe groot is hoek CBA?
C en D liggen op dezelfde boog. Hoek ACB is 40°. Hoek ADB is:
- 40°
- 80°
- 20°
- 140°
De middelpuntshoek gemeten langs de grote boog AB is 240°. Hoe groot is een omtrekshoek die op die grote boog staat?
Een vierhoek heeft alle vier hoekpunten op een cirkel. Eén hoek is 70°. Hoe groot is de overstaande hoek?
In driehoek OAB is O het middelpunt en middelpuntshoek AOB is 80°. Hoe groot is hoek OAB?
C ligt op een cirkel en hoek ACB = 90°. Wat kun je zeggen over AB?
- het is een diameter
- het is een raaklijn
- het is een halve straal
- er is niets over te zeggen
Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden van 6 cm en 8 cm. Wat is de straal van de cirkel door zijn drie hoekpunten?
A en B zijn de uiteinden van een diameter. P ligt binnen de cirkel, niet erop. Hoek APB is:
- meer dan 90°
- precies 90°
- minder dan 90°
- altijd 45°
C en D liggen op tegenoverliggende bogen van koorde AB. Hoek ACB is 40°. Hoe groot is hoek ADB?

Veelgemaakte fouten

‘De omtrekshoek is gelijk aan de middelpuntshoek.’ De omtrekshoek is de helft. Het hoekpunt op de cirkel ligt verder weg, dus de hoek is smaller.
‘De middelpuntshoek is half de omtrekshoek.’ Het is andersom. Bij een middelpuntshoek van 100° hoort een omtrekshoek van 50°. Denk aan de halve cirkel: de middelpuntshoek is 180° en de omtrekshoek 90°.
‘De hoek in een halve cirkel is alleen 90° als C bovenaan ligt.’ Elk punt van de cirkel behalve A en B geeft 90°. Versleep C langs de cirkel in het practicum: alleen de hoeken bij A en B veranderen.

Voor de docentIn het Koreaanse nationale curriculum van 2022 komt de omtrekshoek in de middelbareschoolleerjaren 1 tot 3 aan bod. Het leerdoel vraagt de eigenschappen van omtrekshoeken te begrijpen en te onderbouwen. Omtrekshoek staat op de begrippenlijst. Het curriculum sluit eigenschappen van cirkels en evenredigheid uit, dus bijvoorbeeld de stelling over snijdende koorden blijft buiten de stof. Leerlingen slaan vaak de gevalsonderscheiding over: ze bewijzen alleen het geval met het middelpunt binnen de hoek en nemen de rest aan. Teken drie figuren naast elkaar, met het middelpunt binnen de hoek, op een been en buiten de hoek. Vraag welke bewijsstap telkens verandert.

Belangrijkste punten

Een omtrekshoek is half de middelpuntshoek op dezelfde boog (Euclides III.20).
Omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk (III.21).
Een hoek in een halve cirkel is 90° (III.31); omgekeerd staat een omtrekshoek van 90° op een diameter.
Omtrekshoeken op tegengestelde bogen van een koorde zijn samen 180°.

Bronnen van deze cursus (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Geraadpleegd: 2026-10-19