edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Geometri dan gambar›Lingkaran

Sudut pusat dan sudut keliling

Hubungkan titik mana pun pada lingkaran ke kedua ujung diameter, dan sudut di titik itu tepat 90°. Euclid membuktikannya sebagai Buku III, Proposisi 31.

Tiga proposisi dari buku lingkaran Euclid

Latar belakangBuku III dari Elements karya Euclid, buku tentang lingkaran, memuat rangkaian singkat hasil yang masih diajarkan dalam pelajaran sekolah. Proposisi 20 menyatakan bahwa dalam sebuah lingkaran, sudut pusat adalah dua kali sudut keliling jika keduanya menghadap busur yang sama. Proposisi 21 langsung menggunakannya: sudut-sudut dalam tembereng yang sama besarnya sama. Proposisi 31 menyatakan bahwa sudut dalam setengah lingkaran adalah siku-siku, dan edisi D. E. Joyce mencatat bahwa bagian ini sering disebut teorema Thales. Setiap pembuktiannya hanya beberapa baris dan menggunakan dua fakta dari Buku I: sudut alas segitiga sama kaki sama besar (Proposisi 5), dan sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak bersisian dengannya (Proposisi 32).

Pertama, kenali namanya. Ambil dua titik A dan B pada lingkaran berpusat O. Sudut AOB, dengan titik sudut di pusat, disebut sudut pusat. Sekarang ambil titik ketiga C pada lingkaran, di sisi yang berlawanan dari busur AB. Sudut ACB memiliki titik sudut pada lingkaran dan kedua kakinya berupa tali busur. Inilah sudut keliling, dan Euclid menyebutnya menghadap busur AB. Sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur sama adalah pasangan yang dibahas teorema tersebut.

Mengapa sudut keliling setengah sudut pusat

Berikut pembuktian Euclid untuk gambar yang umum, yaitu pusat berada di dalam sudut ACB. Tarik garis dari C melalui O, lalu beri nama D pada pertemuannya kembali dengan lingkaran. Segitiga OCA sama kaki karena OC dan OA sama-sama jari-jari, sehingga sudut di C dan A sama besar; sebut masing-masing x. Sudut AOD adalah sudut luar segitiga itu, sehingga besarnya x + x = 2x. Penalaran yang sama di sisi lain, pada segitiga OCB, memberikan sudut BOD = 2y, dengan y sebagai sudut OCB. Jumlahkan kedua bagian. Sudut pusat AOB adalah 2x + 2y, dan sudut keliling ACB adalah x + y. Sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling.

Kiri: sudut pusat AOB (biru) dan sudut keliling ACB (oranye) menghadap busur AB yang sama. Garis putus-putus dari C melalui O ke D membagi gambar menjadi dua segitiga sama kaki, seperti dalam pembuktian Euclid. Kanan: AB merupakan diameter, sehingga sudut di C, dan di sembarang titik lain C′ pada lingkaran, adalah 90°.

Jika pusat berada di luar sudut ACB, dua segitiga yang sama tetap muncul, tetapi kamu melakukan pengurangan, bukan penjumlahan. Euclid juga menangani kasus itu pada akhir Proposisi 20. Bagaimanapun letaknya, hasilnya tetap berlaku: sudut keliling adalah setengah sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

Semua sudut keliling pada busur sama besarnya

Geser C ke mana saja sepanjang busur yang sama. Sudut pusat AOB tidak berubah, sehingga setengahnya juga tidak berubah. Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama, sesuai Proposisi 21. Seorang fotografer di mana saja pada busur itu melihat panggung AB dengan sudut pandang yang sama. Jika titik C dan D terletak pada busur berlawanan dari tali busur AB, kedua sudut kelilingnya berjumlah 180°, karena sudut pusatnya membentuk satu putaran penuh dan berjumlah 360°. Itulah sebabnya sudut berhadapan pada segi empat yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran berjumlah 180° (Euclid, Proposisi 22).

Sudut dalam setengah lingkaran

Sekarang jadikan AB sebuah diameter. Sudut pusat AOB merupakan sudut lurus, 180°, sehingga setiap sudut keliling yang menghadapnya adalah 90°. Itulah Proposisi 31. Kebalikannya juga berlaku: jika C terletak pada lingkaran dan sudut ACB adalah 90°, sudut pusat yang menghadap AB adalah 180°, sehingga AB harus merupakan diameter. Ini memberi cara menemukan pusat papan bundar dengan penggaris segitiga. Letakkan sudut siku-sikunya pada tepi, tandai tempat kedua kakinya memotong tepi, dan garis antara kedua tanda itu adalah diameter. Lakukan dua kali, dan kedua diameter berpotongan di pusat.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

A dan B adalah ujung diameter lingkaran berjari-jari 1.25 (lingkarannya sendiri tidak digambar), dan C mula-mula terletak pada lingkaran itu, sehingga sudut C terbaca 90°. Seret C sedikit ke atas, ke luar lingkaran: sudut C turun di bawah 90°. Seret ke bawah mendekati AB, ke dalam lingkaran, dan sudutnya membesar melewati 90°. Lalu letakkan C di puncak lingkaran, tepat di atas titik tengah AB: kembali 90°, dengan sudut 45° di A dan B. Proposisi 31 Euclid menyatakan hal yang sama: sudut dalam tembereng yang lebih besar daripada setengah lingkaran lebih kecil daripada sudut siku-siku, sedangkan dalam tembereng yang lebih kecil sudutnya lebih besar.
Segitiga siku-siku selalu muat dalam lingkaran yang diameternya adalah sisi miringnya. Segitiga dengan sisi tegak 6 dan 8 memiliki sisi miring 10, jadi lingkaran yang melalui ketiga sudutnya berjari-jari 5, berpusat di titik tengah sisi miring.
  1. Sudut pusat 100°. Berapa sudut keliling pada busur yang sama?
  2. Sudut keliling 35°. Berapa sudut pusat pada busur yang sama?
  3. AB adalah diameter dan C berada pada lingkaran. Sudut CAB adalah 25°. Berapa sudut CBA?
  4. C dan D berada pada busur yang sama. Sudut ACB adalah 40°. Sudut ADB adalah:
    • 40°
    • 80°
    • 20°
    • 140°
  5. Sudut pusat yang diukur di sekitar busur besar AB adalah 240°. Berapa sudut keliling yang menghadap busur besar itu?
  6. Keempat titik sudut sebuah segi empat berada pada lingkaran. Salah satu sudutnya 70°. Berapa sudut yang berhadapan dengannya?
  7. Pada segitiga OAB, O adalah pusat dan sudut pusat AOB adalah 80°. Berapa sudut OAB?
  8. C berada pada lingkaran dan sudut ACB = 90°. Apa yang dapat dikatakan tentang AB?
    • AB adalah diameter
    • AB adalah garis singgung
    • AB adalah setengah jari-jari
    • tidak ada yang dapat dikatakan
  9. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi tegak 6 cm dan 8 cm. Berapa jari-jari lingkaran yang melalui ketiga sudutnya?
  10. A dan B adalah ujung-ujung sebuah diameter. P berada di dalam lingkaran, bukan pada lingkaran. Sudut APB adalah:
    • lebih dari 90°
    • tepat 90°
    • kurang dari 90°
    • selalu 45°
  11. C dan D terletak pada busur-busur yang berlawanan dari tali busur AB. Sudut ACB adalah 40°. Berapa sudut ADB?
Kesalahan umum
  • "Sudut keliling sama dengan sudut pusat." Sudut keliling adalah setengahnya. Titik sudut di lingkaran lebih jauh, jadi sudutnya lebih sempit.
  • "Sudut pusat adalah setengah sudut keliling." Justru sebaliknya. Sudut pusat 100° berpasangan dengan sudut keliling 50°. Bayangkan setengah lingkaran: sudut pusatnya 180° dan sudut kelilingnya 90°.
  • "Sudut dalam setengah lingkaran adalah 90° hanya jika C berada di puncak." Setiap titik pada lingkaran selain A dan B memberikan 90°. Seret C sepanjang lingkaran pada laboratorium trigonometri: hanya sudut di A dan B yang berubah.
Catatan untuk guruDalam kurikulum nasional Korea 2022, sudut keliling dipelajari di kelas 1 sampai 3 SMP, dalam standar yang meminta siswa memahami sifat sudut keliling dan memberikan alasannya. Sudut keliling tercantum dalam daftar istilah. Kurikulum juga menyatakan bahwa sifat lingkaran dan perbandingan tidak dibahas, sehingga hasil seperti teorema tali busur berpotongan tidak disertakan. Langkah yang sering dilewatkan siswa adalah pembagian kasus. Mereka membuktikan teorema dengan pusat di dalam sudut lalu menganggap sisanya benar begitu saja. Gambar tiga keadaan berdampingan, dengan pusat di dalam sudut, pada salah satu kaki sudut, dan di luarnya, lalu tanyakan langkah pembuktian mana yang berubah pada setiap keadaan.
Poin penting
  • Sudut keliling adalah setengah sudut pusat pada busur yang sama (Euclid III.20).
  • Sudut keliling pada busur yang sama besarnya sama (III.21).
  • Sudut dalam setengah lingkaran adalah 90° (III.31); sebaliknya, sudut keliling 90° menghadap sebuah diameter.
  • Sudut keliling pada busur-busur yang berlawanan dari sebuah tali busur berjumlah 180°.
Sumber kursus ini (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Diperiksa: 2026-10-19