Garis singgung: sudut siku-siku di titik singgung dan panjang garis singgung yang sama
Dari titik yang berjarak 13 cm dari pusat lingkaran berjari-jari 5 cm, kedua garis singgung panjangnya tepat 12 cm.
Roda di jalan
Perhatikan sepeda yang berdiri di jalan datar. Ban menyentuh jalan di satu titik, sehingga jalan merupakan garis singgung. Jari-jari dari poros turun ke titik itu arahnya tegak, sedangkan jalan mendatar: keduanya bertemu membentuk sudut siku-siku. Pada jalan miring, jari-jari menuju titik sentuh tidak lagi tegak, tetapi tetap tegak lurus terhadap jalan. Ini bukan sifat khusus sepeda. Untuk setiap lingkaran dan setiap garis singgung, jari-jari yang ditarik ke titik singgung tegak lurus terhadap garis singgung.
Euclid membuktikannya dengan kontradiksi dalam Buku III, Proposisi 18. Misalkan jari-jari OT menuju titik singgung tidak tegak lurus terhadap garis singgung. Sebagai gantinya, tarik garis tegak lurus dari O ke garis singgung hingga bertemu di titik lain G. Pada segitiga OGT, sudut di G siku-siku, sehingga sisi di hadapannya, OT, adalah sisi terpanjang dan OG lebih pendek daripada OT. Namun, OT adalah jari-jari. Titik pada garis yang jaraknya ke O lebih pendek daripada jari-jari berada di dalam lingkaran, padahal garis singgung tidak pernah memasuki lingkaran. Jadi G tidak mungkin ada, dan OT sendirilah garis tegak lurus itu. Kebalikannya juga berlaku sebagai akibat dari Proposisi 16: garis yang digambar tegak lurus terhadap jari-jari pada ujung luarnya menyinggung lingkaran.
Dua ruas singgung dari satu titik sama panjang
Dari titik P di luar lingkaran, kamu dapat menggambar tepat dua garis singgung yang menyentuh lingkaran di T dan T′. Ruas PT dan PT′ sama panjang. Hubungkan O dengan T, T′, dan P. Segitiga OTP dan OT′P masing-masing memiliki sudut siku-siku di T dan T′. Keduanya berbagi sisi OP, dan OT = OT′ karena keduanya jari-jari. Menurut teorema Pythagoras, PT² = OP² − r² dan PT′² = OP² − r², sehingga PT = PT′. Gambar yang sama menunjukkan bahwa OP membagi sudut TPT′ menjadi dua sama besar, karena kedua segitiga siku-siku saling merupakan bayangan cermin. Panjang PT disebut panjang garis singgung dari P.
Teorema Pythagoras juga memberikan panjangnya. Dengan OP = 13 cm dan r = 5 cm, PT² = 169 − 25 = 144, sehingga PT = 12 cm pada kedua sisi. Sebaliknya, jika garis singgung sepanjang 15 cm mencapai lingkaran berjari-jari 8 cm, titik luarnya berjarak √(225 + 64) = √289 = 17 cm dari pusat. Pada segi empat PTOT′, sudut di T dan T′ masing-masing 90°, sehingga sudut di P dan sudut TOT′ berjumlah 180°. Jika kedua garis singgung bertemu pada sudut 50°, sudut antara kedua jari-jari adalah 130°.
Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.
Menggambar garis singgung dengan jangka
Untuk menggambar garis singgung dari P, kamu memerlukan titik T yang membuat sudut OTP sebesar 90°. Unit 5 sudah menemukan semua titik seperti itu: semuanya terletak pada lingkaran berdiameter OP. Jadi cari titik tengah M dari OP, gambar lingkaran berpusat M melalui O dan P, dan lingkaran itu memotong lingkaran pertama di T dan T′. Hubungkan P dengan masing-masing titik tersebut. Konstruksi Euclid sendiri dalam Buku III, Proposisi 17 menggunakan cara berbeda, dengan menggambar lingkaran berpusat O melalui P dan garis tegak lurus dari lingkaran pertama, tetapi hasil akhirnya tetap sudut siku-siku yang sama di titik singgung.
Jawaban singkat dari ruas singgung sama
Garis singgung yang sama panjang membuat beberapa teka-teki hampir langsung terpecahkan. Gambar dua garis singgung dari P, masing-masing sepanjang 10 cm. Lalu gambar garis singgung ketiga yang menyentuh lingkaran di suatu tempat pada busur dekat P, sehingga terbentuk segitiga kecil dengan P. Kelilingnya selalu 20 cm, di mana pun garis singgung ketiga menyentuh. Setiap ujung garis singgung ketiga adalah titik luar dengan dua garis singgung sama panjang, sehingga sisi ketiga terbagi menjadi dua bagian yang panjangnya sama dengan bagian PT dan PT′ yang dipotongnya. Gagasan yang sama berlaku untuk segi empat yang digambar mengelilingi lingkaran: setiap titik sudut memiliki dua garis singgung sama panjang, sehingga jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan sama. Jika sisi-sisi berurutan panjangnya 5, 6, dan 9, sisi keempat adalah 5 + 9 − 6 = 8.
| Singgung dan radius | Tegak lurus pada titik singgung (Euclid III.18) |
| Singgung dari satu titik | Panjang sama: PT = PT′ |
| Panjang ruas singgung | PT = √(OP² − r²) |
| Sudut dalam PTOT′ | ∠P + ∠TOT′ = 180° |
| Titik di dalam lingkaran | Tidak ada singgung melaluinya |
- Sebuah titik berjarak 13 cm dari pusat lingkaran berjari-jari 5 cm. Berapa panjang garis singgung dari titik itu?
- Sebuah titik berjarak 10 cm dari pusat lingkaran berjari-jari 6 cm. Berapa panjang garis singgungnya?
- Sebuah garis singgung sepanjang 15 cm menyentuh lingkaran berjari-jari 8 cm. Berapa jarak titik luar itu dari pusat?
- Dua garis singgung dari P bertemu pada sudut 50°. Berapa sudut TOT′ di antara kedua jari-jari ke titik-titik singgung?
- Jari-jari ke kedua titik singgung membentuk sudut 120°. Pada sudut berapa kedua garis singgung bertemu di P?
- Di titik singgung, jari-jari dan garis singgung bertemu pada sudut:
- 90°
- 45°
- 180°
- bergantung pada lingkaran
- Kedua garis singgung dari P masing-masing 10 cm. Garis singgung ketiga memotong sebuah segitiga bersama P. Berapa keliling segitiga itu?
- Berapa banyak garis singgung pada sebuah lingkaran yang melalui titik di dalamnya?
- tidak ada
- satu
- dua
- tak terhingga
- Sebuah lingkaran berjari-jari 0.5 m. Sebuah titik berjarak 1.3 m dari pusatnya. Berapa panjang garis singgung dari titik itu?
- Sebuah garis ditarik tegak lurus terhadap jari-jari pada ujungnya di lingkaran. Garis itu adalah:
- garis singgung
- garis potong
- diameter
- tali busur
- Sebuah segi empat digambar mengelilingi lingkaran. Tiga sisi berurutan panjangnya 5, 6, dan 9 cm. Berapa panjang sisi keempat?
- "Panjang garis singgung adalah OP − r." OP − r adalah jarak dari P ke titik terdekat pada lingkaran. Garis singgung menuju T, dan panjangnya √(OP² − r²). Untuk OP = 13, r = 5, hasilnya 12, bukan 8.
- "Sudut antara kedua garis singgung sama dengan sudut antara kedua jari-jari." Keduanya berjumlah 180°, karena segi empat PTOT′ sudah memiliki dua sudut siku-siku. Keduanya sama hanya ketika keduanya 90°.
- "Garis yang menyentuh lingkaran masih boleh masuk sedikit ke dalam." Garis yang bertemu lingkaran di satu titik lalu masuk ke dalam harus keluar lagi, sehingga bertemu lingkaran untuk kedua kalinya. Garis itu adalah garis potong, bukan garis singgung.
- Jari-jari ke titik singgung tegak lurus pada garis singgung (Euclid III.18), dan garis yang tegak lurus pada jari-jari di ujungnya adalah garis singgung.
- Dari titik luar P ada tepat dua garis singgung, dan PT = PT′.
- Panjang singgung: PT = √(OP² − r²).
- Dalam PTOT′, ∠P + ∠TOT′ = 180°. Segi empat mengelilingi lingkaran memiliki jumlah sisi berhadapan sama.
Sumber kursus ini (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Diperiksa: 2026-10-19