Касательные: прямой угол в точке касания и равные длины касательных

Из точки в 13 см от центра окружности радиуса 5 см оба отрезка касательных имеют длину ровно 12 см.

Колесо на дороге

Посмотри на велосипед, стоящий на ровной дороге. Шина касается дороги в одной точке, поэтому дорога является касательной. Радиус от втулки к этой точке направлен вертикально, а дорога горизонтальна: они образуют прямой угол. На склоне радиус к точке соприкосновения уже не вертикален, но всё равно перпендикулярен дороге. Это не особое свойство велосипедов. Для любой окружности и любой касательной радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

В предложении 18 книги III Евклид доказывает это от противного. Предположим, что радиус OT, проведённый в точку касания, не перпендикулярен касательной. Тогда опусти из O перпендикуляр на касательную, получив другую точку G. В треугольнике OGT угол при G прямой, поэтому противолежащая ему сторона OT самая длинная, а OG короче OT. Но OT является радиусом. Точка прямой, расположенная ближе к O, чем на длину радиуса, лежит внутри круга, а касательная никогда туда не заходит. Значит, G не существует, и перпендикуляром является сам OT. Верно и обратное, как следует из предложения 16: прямая, проведённая перпендикулярно радиусу через его внешний конец, касается окружности.

Отрезки касательных из одной точки равны

Из точки P вне круга можно провести ровно две касательные, касающиеся окружности в T и T′. Отрезки PT и PT′ равны. Соедини O с T, T′ и P. Треугольники OTP и OT′P прямоугольные, с прямыми углами при T и T′. У них общая сторона OP, а OT = OT′, поскольку оба являются радиусами. По теореме Пифагора PT² = OP² − r² и PT′² = OP² − r², поэтому PT = PT′. Тот же рисунок показывает, что OP делит угол TPT′ пополам: два прямоугольных треугольника зеркально симметричны. Длину PT называют длиной касательной из P.

Теорема Пифагора позволяет найти и длину. При OP = 13 см и r = 5 см получаем PT² = 169 − 25 = 144, поэтому с обеих сторон PT = 12 см. Обратный пример: если касательная длиной 15 см проведена к окружности радиуса 8 см, точка находится на расстоянии √(225 + 64) = √289 = 17 см от центра. В четырёхугольнике PTOT′ углы при T и T′ равны 90° каждый, поэтому сумма угла при P и угла TOT′ равна 180°. Если касательные образуют угол 50°, угол между двумя радиусами равен 130°.

Построение касательных циркулем

Чтобы построить касательные из P, нужны точки T, в которых угол OTP равен 90°. В уроке 5 уже найдены все такие точки: они лежат на окружности с диаметром OP. Поэтому найди середину M отрезка OP, построй окружность с центром M через O и P; она пересечёт исходную окружность в T и T′. Соедини P с каждой точкой. Собственное построение Евклида в предложении 17 книги III идёт другим путём: он строит окружность с центром O через P и перпендикуляр от первой окружности, но в итоге получает тот же прямой угол в точке касания.

Короткие решения через равные касательные

Равенство касательных позволяет почти без вычислений решать некоторые задачи. Проведи из P две касательные длиной по 10 см. Затем проведи третью касательную, касающуюся окружности где-нибудь на ближней дуге и отсекающую небольшой треугольник с вершиной P. Его периметр всегда равен 20 см, где бы ни находилась третья точка касания. Каждый конец третьей касательной является внешней точкой с двумя равными касательными, поэтому третья сторона делится на две части, равные отсекаемым частям PT и PT′. Та же идея применима к четырёхугольнику, описанному вокруг окружности: из каждой вершины выходят две равные касательные, поэтому суммы противоположных сторон равны. Если последовательные стороны равны 5, 6 и 9, четвёртая равна 5 + 9 − 6 = 8.