Tangenti: l'angolo retto nel punto di contatto e i segmenti di tangente uguali

Da un punto a 13 cm dal centro di un cerchio di raggio 5 cm, i due segmenti di tangente misurano esattamente 12 cm.

Una ruota sulla strada

Guarda una bicicletta appoggiata su una strada piana. Lo pneumatico tocca la strada in un punto, quindi la strada è una retta tangente. Il raggio che va dal mozzo fino a quel punto è verticale e la strada è orizzontale: si incontrano ad angolo retto. In salita il raggio verso il punto di contatto non è più verticale, ma è ancora perpendicolare alla strada. Non è una proprietà delle biciclette. Per ogni circonferenza e per ogni tangente, il raggio tracciato verso il punto di tangenza è perpendicolare alla tangente.

Euclide lo dimostra per assurdo nel libro III, proposizione 18. Supponi che il raggio OT diretto al punto di tangenza non sia perpendicolare alla tangente. Conduci invece da O la perpendicolare alla retta tangente, incontrandola in un punto diverso G. Nel triangolo OGT l'angolo in G è retto, quindi il lato opposto, OT, è il più lungo e OG è più corto di OT. Ma OT è un raggio. Un punto della retta più vicino a O di un raggio si trova dentro il cerchio, e una tangente non entra mai nel cerchio. Quindi G non può esistere e OT stesso è la perpendicolare. Vale anche il contrario, come corollario alla proposizione 16: una retta tracciata ad angolo retto rispetto a un raggio nel suo estremo esterno è tangente alla circonferenza.

Tangenti da uno stesso punto: segmenti uguali

Da un punto P esterno a una circonferenza puoi tracciare esattamente due tangenti, che toccano la circonferenza in T e T′. I segmenti PT e PT′ hanno la stessa lunghezza. Unisci O a T, a T′ e a P. I triangoli OTP e OT′P hanno ciascuno un angolo retto, rispettivamente in T e in T′. Hanno il lato OP in comune e OT = OT′ perché entrambi sono raggi. Per il teorema di Pitagora PT² = OP² − r² e PT′² = OP² − r², quindi PT = PT′. La stessa figura mostra che OP divide a metà l'angolo TPT′, poiché i due triangoli rettangoli sono immagini speculari. La lunghezza PT si chiama lunghezza della tangente da P.

Il teorema di Pitagora permette anche di trovare la lunghezza. Con OP = 13 cm e r = 5 cm, PT² = 169 − 25 = 144, quindi PT = 12 cm da entrambi i lati. Nel verso opposto, se una tangente di 15 cm raggiunge una circonferenza di raggio 8 cm, il punto dista √(225 + 64) = √289 = 17 cm dal centro. Nel quadrilatero PTOT′ gli angoli in T e T′ misurano 90° ciascuno, quindi l'angolo in P e l'angolo TOT′ hanno somma 180°. Se le tangenti si incontrano con un angolo di 50°, l'angolo tra i due raggi è 130°.

Costruire tangenti col compasso

Per tracciare le tangenti da P ti servono i punti T in cui l'angolo OTP è 90°. L'unità 5 ha già trovato tutti questi punti: si trovano sulla circonferenza di diametro OP. Trova quindi il punto medio M di OP, traccia la circonferenza di centro M passante per O e P, e questa interseca la prima circonferenza in T e T′. Unisci P a ciascuno. La costruzione originale di Euclide nel libro III, proposizione 17, segue un percorso diverso, tracciando una circonferenza di centro O passante per P e una perpendicolare dalla prima circonferenza, ma termina con lo stesso angolo retto nel punto di contatto.

Soluzioni brevi con tangenti uguali

Le tangenti uguali rendono alcuni problemi quasi gratuiti. Disegna le due tangenti da P, ciascuna lunga 10 cm. Poi disegna una terza tangente che tocca la circonferenza da qualche parte sull'arco vicino e stacca con P un piccolo triangolo. Il suo perimetro è sempre 20 cm, ovunque la terza tangente tocchi. Ciascuna estremità della terza tangente è un punto esterno con due tangenti uguali, quindi il terzo lato si divide in due pezzi che coincidono con i pezzi di PT e PT′ che essa taglia. La stessa idea funziona per un quadrilatero disegnato attorno a una circonferenza: ogni vertice manda due tangenti uguali, quindi le somme dei lati opposti sono uguali. Con i lati 5, 6 e 9 in ordine, il quarto lato è 5 + 9 − 6 = 8.