接線：接点での直角と、等しい接線の長さ
半径5 cmの円の中心から13 cm離れた点から引いた二本の接線は、どちらもちょうど12 cmの長さです。
道路上の車輪
平らな道路に立つ自転車を見ましょう。タイヤは道路と1点で接するので、道路は接線です。車軸の中心から接点へ下ろした半径は鉛直で、道路は水平なので、直角に交わります。坂道では接点への半径は鉛直ではなくなりますが、それでも道路と直角です。これは自転車だけの性質ではありません。どの円でもどの接線でも、接点へ引いた半径は接線に垂直です。
ユークリッドは第III巻の命題18で背理法を使います。接点への半径OTが接線に垂直でないと仮定します。Oから接線へ別に垂線を下ろし、異なる点Gで交わるとします。三角形OGTではGが直角なので、その向かいのOTが最長で、OGはOTより短くなります。しかしOTは半径です。Oからの距離が半径より短い直線上の点は円の内側ですが、接線は円の内側に入りません。したがってGは存在できず、OT自体が垂線です。命題16の系として逆も成り立ちます。半径の外側の端で半径と直角に引いた直線は、円に接します。
同じ点から引く接線の長さは等しい
円の外の点Pからはちょうど2本の接線が引け、TとT′で接します。線分PTとPT′の長さは等しくなります。OをT、T′、Pと結びます。三角形OTPとOT′PはTとT′が直角です。OPは共通で、OTとOT′は半径なので等しくなります。三平方の定理よりPT² = OP² − r²、PT′² = OP² − r²なので、PT = PT′です。また、2つの直角三角形は鏡に映した関係なので、OPは角TPT′を二等分することも同じ図から分かります。PTの長さをPからの接線の長さといいます。
三平方の定理は、接線の長さも与えます。OP = 13 cm、r = 5 cmなら、PT² = 169 − 25 = 144なので、どちらの接線もPT = 12 cmです。逆に、15 cmの接線が半径8 cmの円に届くとき、その点は中心から√(225 + 64) = √289 = 17 cmの位置にあります。四角形PTOT′では、TとT′の角がどちらも90°なので、Pの角と角TOT′の和は180°です。接線が50°で交わるなら、二本の半径の間の角は130°です。
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コンパスで接線を作図
Pからの接線を描くには、角OTPが90°となる点Tが必要です。単元5では、そのような点はすべて直径OPの円上にあると分かりました。OPの中点Mを求め、Mを中心にOとPを通る円を描くと、元の円とT、T′で交わります。Pをそれぞれと結びます。ユークリッド自身の第III巻の命題17の作図は別の方法で、Oを中心にPを通る円を描き、元の円から垂線を引きますが、最後には同じく接点に直角ができます。
等しい接線で短く解く
接線の長さが等しいと、ほとんど計算なしで解ける問題があります。Pからそれぞれ10 cmの2本の接線を引きます。次に、Pに近いほうの弧のどこかに接する3本目の接線を引き、Pを頂点とする小さな三角形を切り取ります。その周の長さは、3本目の接点がどこでも常に20 cmです。3本目の接線の両端は外部の点で、それぞれ2本の等しい接線を持ちます。そのため第3辺は、PTとPT′から切り取られた部分にそれぞれ等しい2部分に分かれます。円に外接する四角形でも同じ考えが使えます。各頂点からの2本の接線が等しいので、向かい合う辺の和は等しくなります。順に5、6、9なら、残りの辺は5 + 9 − 6 = 8です。
| 接線と半径 | 接点で垂直です（III.18） |
| 同じ点からの接線 | 長さはPT = PT′です |
| 接線の長さ | PT = √(OP² − r²) |
| PTOT′の角 | ∠P + ∠TOT′ = 180° |
| 円の内部の点 | 接線は通りません |
- 半径5 cmの円の中心から13 cm離れた点があります。その点から引いた接線の長さは？
- 半径6 cmの円の中心から10 cm離れた点があります。その点から引いた接線の長さは？
- 長さ15 cmの接線が半径8 cmの円に接しています。外側の点は中心から何cm離れていますか？
- Pから引いた二本の接線が50°で交わります。接点への二本の半径の間の角TOT′は何度ですか？
- 接点への二本の半径がなす角は120°です。二本の接線がPで交わる角は何度ですか？
- 接点で、半径と接線がなす角は？
- 90°
- 45°
- 180°
- 円によって異なります
- Pから引いた二本の接線は、どちらも10 cmです。三本目の接線がPとの間に三角形を切り取ります。この三角形の周の長さは？
- 円の内側の点を通る、この円の接線は何本ありますか？
- なし
- 一本
- 二本
- 無数
- 半径0.5 mの円があります。中心から1.3 mの点から引いた接線の長さは？
- 半径の円上の端で、その半径と直角に引いた直線は、次のどれですか？
- 接線
- 割線
- 直径
- 弦
- 四角形が円に外接しています。順に並んだ三辺は5、6、9 cmです。残りの一辺の長さは？
- 「接線長はOP − rです」 OP − rは、Pから円上の最も近い点までの距離です。接線は点Tに届き、その長さは√(OP² − r²)です。OP = 13、r = 5なら、8ではなく12です。
- 「接線間と半径間の角は等しいです」 四角形PTOT′にはすでに二つの直角があるので、二つの角の和は180°です。等しくなるのは、どちらも90°のときだけです。
- 「接線は少しだけ内部を通ってもよいです」 円と一点で交わる直線が内側に入るなら、また外へ出なければならず、二回目に円と交わります。それなら接線ではなく割線です。
- 接点への半径は接線に垂直であり（ユークリッドIII.18）、半径の端でその半径に垂直な直線は接線です。
- 外側の点Pからは、ちょうど二本の接線が引け、PT = PT′です。
- 接線長：PT = √(OP² − r²)。
- PTOT′では∠P + ∠TOT′ = 180°です。円に外接する四角形では、向かい合う辺の和が等しくなります。
このコースの出典 (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
確認日: 2026-10-19