Raaklijnen: de rechte hoek bij het raakpunt en gelijke raaklijnstukken
Vanuit een punt dat 13 cm van het middelpunt van een cirkel met straal 5 cm ligt, zijn beide raaklijnen precies 12 cm lang.
Een wiel op de weg
Kijk naar een fiets op een vlakke weg. De band raakt de weg op één punt, dus de weg is een raaklijn. De straal van de naaf naar dat punt is verticaal en de weg horizontaal: ze maken een rechte hoek. Op een helling is de straal naar het contactpunt niet meer verticaal, maar nog steeds loodrecht op de weg. Dit is geen bijzondere eigenschap van fietsen. Bij elke cirkel en elke raaklijn staat de straal naar het raakpunt loodrecht op de raaklijn.
Euclides bewijst dit uit het ongerijmde in Boek III, Propositie 18. Stel dat straal OT naar het raakpunt niet loodrecht op de raaklijn staat. Laat vanuit O een loodlijn op de raaklijn vallen met een ander voetpunt G. In driehoek OGT is de hoek bij G recht. De overstaande zijde OT is daarom de langste en OG is korter dan OT. Maar OT is een straal. Een punt dichter bij O dan een straal ligt binnen de cirkel, terwijl een raaklijn nooit de cirkel binnengaat. G kan dus niet bestaan en OT zelf is de loodlijn. Het omgekeerde volgt uit Propositie 16: een lijn loodrecht op een straal bij zijn buitenste uiteinde raakt de cirkel.
Twee raaklijnen vanuit één punt zijn gelijk
Vanuit een punt P buiten een cirkel kun je precies twee raaklijnen trekken, met raakpunten T en T′. De lijnstukken PT en PT′ zijn even lang. Verbind O met T, T′ en P. Driehoeken OTP en OT′P hebben elk een rechte hoek, bij T en T′. Ze delen zijde OP en OT = OT′ omdat beide stralen zijn. Volgens Pythagoras is PT² = OP² − r² en PT′² = OP² − r², dus PT = PT′. Dezelfde figuur laat zien dat OP hoek TPT′ halveert, omdat de twee rechthoekige driehoeken elkaars spiegelbeeld zijn. PT heet de lengte van de raaklijn vanuit P.
De stelling van Pythagoras geeft ook de lengte. Bij OP = 13 cm en r = 5 cm is PT² = 169 − 25 = 144, dus aan beide kanten PT = 12 cm. Andersom: bereikt een raaklijn van 15 cm een cirkel met straal 8 cm, dan ligt het punt √(225 + 64) = √289 = 17 cm van het middelpunt. In vierhoek PTOT′ zijn de hoeken bij T en T′ elk 90°, dus de hoek bij P en hoek TOT′ zijn samen 180°. Maken de raaklijnen een hoek van 50°, dan is de hoek tussen de twee stralen 130°.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Raaklijnen tekenen met een passer
Voor de raaklijnen vanuit P zoek je de punten T waar hoek OTP 90° is. Hoofdstuk 5 gaf alle zulke punten al: ze liggen op de cirkel met diameter OP. Zoek dus het midden M van OP en teken de cirkel met middelpunt M door O en P. Die snijdt de eerste cirkel in T en T′. Verbind beide met P. Euclides' eigen constructie in Boek III, Propositie 17 volgt een andere route, met een cirkel om O door P en een loodlijn vanuit de eerste cirkel. Hij eindigt met dezelfde rechte hoek bij het raakpunt.
Korte antwoorden uit gelijke raaklijnen
Gelijke raaklijnstukken lossen sommige puzzels bijna vanzelf op. Teken vanuit P twee raaklijnen van elk 10 cm. Teken een derde raaklijn die de cirkel ergens op de nabije boog raakt en met P een kleine driehoek afsnijdt. De omtrek daarvan is altijd 20 cm, waar het derde raakpunt ook ligt. Elk uiteinde van de derde raaklijn is een buitenpunt met twee gelijke raaklijnstukken. De derde zijde valt daardoor uiteen in twee stukken die gelijk zijn aan de afgesneden delen van PT en PT′. Hetzelfde werkt bij een vierhoek om een cirkel: elke hoek levert twee gelijke raaklijnstukken, dus de sommen van overstaande zijden zijn gelijk. Zijn drie opeenvolgende zijden 5, 6 en 9, dan is de vierde 5 + 9 − 6 = 8.
| Raaklijn en straal | Loodrecht bij het raakpunt (Euclides III.18) |
| Raaklijnen vanuit één punt | Gelijke lengtes: PT = PT′ |
| Raaklijnlengte | PT = √(OP² − r²) |
| Hoeken in PTOT′ | ∠P + ∠TOT′ = 180° |
| Punt binnen de cirkel | Er gaat geen raaklijn doorheen |
- Een punt ligt 13 cm van het middelpunt van een cirkel met straal 5 cm. Hoe lang is de raaklijn vanuit dat punt?
- Een punt ligt 10 cm van het middelpunt van een cirkel met straal 6 cm. Hoe lang is de raaklijn?
- Een raaklijn van 15 cm lang raakt een cirkel met straal 8 cm. Hoe ver ligt het buitenpunt van het middelpunt?
- Twee raaklijnen vanuit P snijden elkaar onder een hoek van 50°. Hoe groot is hoek TOT′ tussen de stralen naar de raakpunten?
- De stralen naar de twee raakpunten maken een hoek van 120°. Onder welke hoek snijden de raaklijnen elkaar in P?
- Bij het raakpunt ontmoeten straal en raaklijn onder:
- 90°
- 45°
- 180°
- hangt van de cirkel af
- De twee raaklijnen vanuit P zijn elk 10 cm lang. Een derde raaklijn snijdt met P een driehoek af. Wat is de omtrek van de driehoek?
- Hoeveel raaklijnen aan een cirkel gaan door een punt binnen de cirkel?
- geen
- één
- twee
- oneindig veel
- Een cirkel heeft straal 0.5 m. Een punt ligt 1.3 m van het middelpunt. Hoe lang is de raaklijn vanuit dat punt?
- Een lijn staat loodrecht op een straal, bij het uiteinde ervan op de cirkel. De lijn is:
- een raaklijn
- een snijlijn
- een diameter
- een koorde
- Om een cirkel is een vierhoek getekend. Drie opeenvolgende zijden zijn 5, 6 en 9 cm. Hoe lang is de vierde zijde?
- ‘De lengte van de raaklijn is OP − r.’ OP − r is de afstand van P tot het dichtstbijzijnde cirkelpunt. De raaklijn loopt naar T en heeft lengte √(OP² − r²). Bij OP = 13 en r = 5 is dat 12, niet 8.
- ‘De hoek tussen de raaklijnen is gelijk aan de hoek tussen de stralen.’ Ze zijn samen 180°, omdat de vierhoek PTOT′ al twee rechte hoeken heeft. Ze zijn alleen gelijk als beide 90° zijn.
- ‘Een lijn die de cirkel raakt, kan toch een beetje door het binnenste gaan.’ Een lijn die de cirkel in één punt ontmoet en naar binnen loopt, moet ook weer naar buiten komen en de cirkel dus een tweede keer ontmoeten. Dan is het een snijlijn, geen raaklijn.
- De straal naar het raakpunt staat loodrecht op de raaklijn (Euclides III.18); een lijn die loodrecht op een straal staat bij het uiteinde ervan, is een raaklijn.
- Vanuit een punt P buiten de cirkel zijn er precies twee raaklijnen en PT = PT′.
- Raaklijnlengte: PT = √(OP² − r²).
- In PTOT′ is ∠P + ∠TOT′ = 180°. Bij een vierhoek om een cirkel hebben overstaande zijden gelijke sommen.
Bronnen van deze cursus (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Geraadpleegd: 2026-10-19