Angoli al centro e alla circonferenza

Unisci un punto qualsiasi di una circonferenza ai due estremi di un diametro e l'angolo in quel punto misura esattamente 90°. Euclide lo dimostrò come proposizione 31 del libro III.

Tre proposizioni dal libro dei cerchi di Euclide

ContestoIl libro III degli Elementi di Euclide, dedicato ai cerchi, contiene una breve catena di risultati che si insegnano ancora nei corsi scolastici. La proposizione 20 dice che, in una circonferenza, l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza quando insistono sullo stesso arco. La proposizione 21 lo usa subito: gli angoli nello stesso segmento circolare sono uguali tra loro. La proposizione 31 dice che l'angolo in una semicirconferenza è retto, e l'edizione di D. E. Joyce osserva che questa parte è spesso chiamata teorema di Talete. Ogni dimostrazione occupa soltanto poche righe e usa due fatti del libro I: gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali (proposizione 5) e un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti (proposizione 32).

Cominciamo dai nomi. Prendi due punti A e B su una circonferenza di centro O. L'angolo AOB, con il vertice nel centro, è un angolo al centro. Ora prendi un terzo punto C sulla circonferenza, dalla parte opposta rispetto all'arco AB. L'angolo ACB ha il vertice sulla circonferenza e i suoi due lati sono corde. È un angolo alla circonferenza, ed Euclide dice che insiste sull'arco AB. Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono la coppia di cui parla il teorema.

Perché quello alla circonferenza è la metà

Ecco la dimostrazione di Euclide per la figura consueta, in cui il centro si trova all'interno dell'angolo ACB. Traccia la retta da C attraverso O e chiama D il punto in cui incontra di nuovo la circonferenza. Il triangolo OCA è isoscele, perché OC e OA sono entrambi raggi, quindi i suoi angoli in C e in A sono uguali; chiama ciascuno x. L'angolo AOD è un angolo esterno di quel triangolo, quindi è uguale a x + x = 2x. Lo stesso ragionamento dall'altra parte, con il triangolo OCB, dà angolo BOD = 2y, dove y è l'angolo OCB. Somma le due parti. L'angolo al centro AOB è 2x + 2y e l'angolo alla circonferenza ACB è x + y. L'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza.

A sinistra: l'angolo al centro AOB (blu) e l'angolo alla circonferenza ACB (arancione) insistono sullo stesso arco AB. La linea tratteggiata da C attraverso O fino a D divide la figura in due triangoli isosceli, come nella dimostrazione di Euclide. A destra: AB è un diametro, quindi l'angolo in C e in qualsiasi altro punto C′ della circonferenza misura 90°.

Se il centro cade fuori dall'angolo ACB, compaiono gli stessi due triangoli, ma devi sottrarre invece di sommare. Euclide tratta anche questo caso, alla fine della proposizione 20. In ogni caso il risultato vale: un angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro sullo stesso arco.

Stesso arco, stessi angoli alla circonferenza

Fai scorrere C in un punto qualsiasi dello stesso arco. L'angolo al centro AOB non cambia, quindi non cambia neppure la sua metà. Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali: è la proposizione 21. Un fotografo in un punto qualsiasi di quell'arco vede il palcoscenico AB sotto lo stesso angolo. Con due punti C e D su archi opposti rispetto alla corda AB, i due angoli alla circonferenza hanno somma 180°, perché i loro angoli al centro completano un giro e hanno somma 360°. Ecco perché gli angoli opposti di un quadrilatero con tutti e quattro i vertici su una circonferenza hanno somma 180° (Euclide, proposizione 22).

L'angolo nel semicerchio

Sia ora AB un diametro. L'angolo al centro AOB è un angolo piatto, 180°, quindi ogni angolo alla circonferenza che lo sottende misura 90°. È la proposizione 31. Funziona anche al contrario: se C sta sulla circonferenza e l'angolo ACB è 90°, l'angolo al centro su AB è 180°, quindi AB deve essere un diametro. Questo dà un modo per trovare il centro di una tavola rotonda con una squadra. Appoggia l'angolo retto sul bordo, segna i punti in cui i due bracci incontrano il bordo, e la linea tra i due segni è un diametro. Ripeti l'operazione e i due diametri si incrociano nel centro.

Caricamento

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A e B sono gli estremi di un diametro di una circonferenza di raggio 1.25 (la circonferenza non è disegnata) e inizialmente C si trova su quella circonferenza, quindi l'angolo C indica 90°. Trascina C un po' verso l'alto, fuori dalla circonferenza: l'angolo C scende sotto 90°. Trascinalo verso il basso in direzione di AB, dentro la circonferenza, e supera 90°. Poi metti C in cima alla circonferenza, esattamente sopra il punto medio di AB: di nuovo 90°, con 45° in A e in B. La proposizione 31 di Euclide dice la stessa cosa: l'angolo in un segmento maggiore di un semicerchio è minore di un angolo retto, mentre in un segmento minore è maggiore.

Un triangolo rettangolo sta sempre dentro una circonferenza il cui diametro è la sua ipotenusa. Un triangolo con cateti 6 e 8 ha ipotenusa 10, quindi la circonferenza che passa per i suoi tre vertici ha raggio 5 ed è centrata nel punto medio dell'ipotenusa.

Un angolo al centro è 100°. Quanto misura un angolo alla circonferenza sullo stesso arco?
Un angolo alla circonferenza è 35°. Quanto misura l'angolo al centro sullo stesso arco?
AB è un diametro e C sta sulla circonferenza. L'angolo CAB è 25°. Quanto misura l'angolo CBA?
C e D stanno sullo stesso arco. L'angolo ACB è 40°. L'angolo ADB è:
- 40°
- 80°
- 20°
- 140°
L'angolo al centro misurato attorno all'arco maggiore AB è 240°. Quanto misura un angolo alla circonferenza che insiste su quell'arco maggiore?
Un quadrilatero ha tutti e quattro i vertici su una circonferenza. Un angolo è 70°. Quanto misura l'angolo opposto?
Nel triangolo OAB, O è il centro e l'angolo al centro AOB è 80°. Quanto misura l'angolo OAB?
C sta su una circonferenza e l'angolo ACB è 90°. Che cosa puoi dire di AB?
- è un diametro
- è una tangente
- è metà raggio
- non si può dire nulla
Un triangolo rettangolo ha cateti di 6 cm e 8 cm. Qual è il raggio della circonferenza che passa per i suoi tre vertici?
A e B sono gli estremi di un diametro. P è dentro la circonferenza, non su di essa. L'angolo APB è:
- maggiore di 90°
- esattamente 90°
- minore di 90°
- sempre 45°
C e D stanno su archi opposti rispetto alla corda AB. L'angolo ACB è 40°. Quanto misura l'angolo ADB?

Errori comuni

«L'angolo alla circonferenza uguaglia quello al centro.» L'angolo alla circonferenza è la metà. Il vertice sulla circonferenza è più lontano, quindi l'angolo è più stretto.
«L'angolo al centro è metà di quello alla circonferenza.» È il contrario. Un angolo al centro di 100° corrisponde a un angolo alla circonferenza di 50°. Immagina la semicirconferenza: l'angolo al centro è 180° e l'angolo alla circonferenza 90°.
«Nel semicerchio l'angolo è 90° solo se C è in cima.» Qualsiasi punto della circonferenza diverso da A e B dà 90°. Trascina C lungo la circonferenza nel laboratorio di trigonometria: cambiano solo gli angoli in A e in B.

Nota per l'insegnanteNel curricolo nazionale coreano del 2022 l'angolo alla circonferenza compare nella scuola media, classi da 1 a 3, in uno standard che chiede agli studenti di comprenderne e giustificarne le proprietà. Angolo alla circonferenza è nell'elenco dei termini. Il curricolo dice anche che non si trattano proprietà delle circonferenze e proporzioni, quindi risultati come il teorema delle corde che si intersecano restano esclusi. Il passaggio che gli studenti saltano è la distinzione dei casi. Dimostrano il teorema con il centro all'interno dell'angolo e danno per scontato il resto. Disegna tre figure affiancate, con il centro dentro l'angolo, su uno dei suoi lati e fuori dall'angolo, e chiedi quale passaggio della dimostrazione cambia in ciascuna.

Punti chiave

L'angolo alla circonferenza è metà di quello al centro sullo stesso arco (Euclide III.20).
Angoli alla circonferenza sullo stesso arco sono uguali (III.21).
L'angolo nel semicerchio è 90° (III.31); inversamente, un angolo alla circonferenza di 90° insiste su un diametro.
Angoli alla circonferenza su archi opposti di una corda sommano 180°.

Fonti di questo corso (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consultato il: 2026-10-19