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Lunghezza dell'arco e area del settore

In 20 minuti la punta di una lancetta dei minuti di 10 cm descrive 120°, un terzo del quadrante dell'orologio, e percorre circa 20.9 cm.

Prova prima: la punta della lancetta dei minuti

Una lancetta dei minuti di un orologio da parete è lunga 10 cm. Quanta strada percorre la sua punta tra le 3:00 e le 3:20? Prova da solo prima di continuare a leggere. Ti serve solo quello che hai imparato nelle unità precedenti.

  1. Una lancetta dei minuti è lunga 10 cm. Quanta strada percorre la sua punta in 20 minuti? (usa 3.14 per π, due decimali)

Bastano due fatti. La lancetta dei minuti compie un giro completo, 360°, in 60 minuti, quindi gira di 6° ogni minuto e di 120° in 20 minuti. Un giro intero porterebbe la punta lungo una circonferenza di raggio 10 cm, una distanza di 2π × 10 ≈ 62.8 cm. Venti minuti sono 120 gradi su 360, un terzo di giro, quindi la punta percorre un terzo di quella distanza, circa 20.9 cm. Il percorso della punta è un arco, e la regione spazzata dalla lancetta è un settore con angolo al centro di 120°.

Arco e area hanno lo stesso rapporto col totale

Il ragionamento dell'orologio funziona per qualsiasi settore. Un settore con angolo al centro θ occupa θ/360 di un giro completo, quindi il suo arco è θ/360 della circonferenza: lunghezza dell'arco ℓ = 2πr × θ/360. La stessa frazione si applica all'area, poiché il settore è θ/360 dell'intero disco: area del settore S = πr² × θ/360. In un cerchio di raggio 6 cm, un settore di 60° è un sesto del cerchio. Il suo arco misura 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm e la sua area è π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm². Nel verso opposto, un arco di 5π cm in un cerchio di raggio 10 cm è 5π ÷ 20π = 1/4 della circonferenza, quindi il suo angolo al centro è 90°.

Gli archi e le aree dei settori sono proporzionali all'angolo al centro: raddoppia l'angolo e raddoppiano entrambi. Le corde no. In una circonferenza di raggio 10, un angolo al centro di 60° sottende una corda lunga 10, perché il triangolo con due raggi è equilatero. Un angolo di 120° sottende una corda di circa 17.3, non 20. Intanto l'arco raddoppia da circa 10.5 a circa 20.9. La corda dritta taglia attraverso la curva, e più l'angolo è ampio, più risparmia. Angoli uguali danno comunque corde uguali: Euclide dimostra nella proposizione 28 del libro III che in cerchi uguali corde uguali sottendono archi uguali.

A sinistra: un settore con angolo al centro θ, raggio r e arco ℓ. A destra: in una circonferenza di raggio 10, l'angolo arancione di 60° ha una corda di 10 e un arco di circa 10.5; l'angolo blu di 120° ha un arco doppio, circa 20.9, ma una corda di appena circa 17.3.

Area di settore senza angolo

Moltiplica la lunghezza dell'arco per metà del raggio e osserva il risultato: ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. È di nuovo l'area del settore, quindi S = ½rℓ. Somiglia alla formula del triangolo, metà della base per l'altezza, e c'è un buon motivo: un settore sottile è quasi un triangolo con l'arco come base e il raggio come altezza. Un settore di raggio 8 cm con un arco lungo 10 cm ha area ½ × 8 × 10 = 40 cm², senza aver mai avuto bisogno dell'angolo. Questa è la formula alla base della superficie curva di un cono.

Caricamento del modello 3D

Trascina per ruotare. Scorri oppure avvicina e allontana due dita per regolare lo zoom.

Un cono con r = 3 cm e h = 4 cm, quindi l'apotema l è 5 cm. Premi Sviluppa: la superficie laterale curva si appiattisce in un settore di raggio 5 cm. Il suo arco prima avvolgeva la base, quindi l'arco è lungo 2π × 3 cm, e l'angolo al centro è 360° × 3/5 = 216°. L'area laterale è ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm², il πrl che compare nel pannello.

Ogni diagramma a torta è fatto di settori

Un grafico a torta è un cerchio diviso in settori i cui angoli al centro sono quote di 360°. Una categoria che costituisce il 25% del totale ottiene una fetta con angolo al centro di 0.25 × 360° = 90°. Nel grafico qui sotto, 16 studenti su 50 hanno comprato 3 libri: 16 ÷ 50 = 32%, e 0.32 × 360° = 115.2°. Poiché l'area è proporzionale all'angolo, l'area di una fetta è la stessa quota del tutto che ha il suo conteggio.

Caricamento

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Seleziona una fetta. Il pannello mostra la sua quota in percentuale e il suo angolo al centro in gradi. I sei angoli sommano 360°.
Un segmento circolare (la regione compresa tra una corda e il suo arco) è un settore meno un triangolo. In una circonferenza di raggio 10 cm, il segmento di 90° misura 25π − 50 ≈ 28.54 cm²: il quarto di cerchio meno il triangolo rettangolo con cateti 10 e 10.

Arco ℓ = 2πr × θ/360. Area S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Raggio 6 cm, angolo al centro 60°. Trova l'arco (π = 3.14).
  2. Raggio 6 cm, angolo al centro 60°. Trova l'area del settore (π = 3.14).
  3. Una circonferenza ha raggio 10 cm. Un arco è lungo 5π cm. Qual è il suo angolo al centro?
  4. Un settore ha raggio 8 cm e lunghezza dell'arco 10 cm. Trova la sua area.
  5. In un grafico a torta, una categoria è il 25% del totale. Qual è il suo angolo al centro?
  6. Una fetta di un grafico a torta ha un angolo al centro di 72°. Quale frazione del totale rappresenta?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. Un cono ha raggio di base 3 cm e apotema 5 cm. Sviluppata, la sua superficie laterale è un settore. Qual è l'angolo al centro?
  8. In una circonferenza raddoppi un angolo al centro. Quali grandezze raddoppiano?
    • arco e area del settore
    • arco, area e corda
    • solo la corda
    • nessuna
  9. Una pizza da 30 cm è tagliata in 8 fette uguali. Quanto è lungo il bordo di crosta di una fetta? (usa 3.14 per π)
  10. Trova l'area del segmento circolare tagliato da un angolo al centro di 90° in una circonferenza di raggio 10 cm (usa 3.14 per π).
  11. Di quanti gradi ruota la lancetta dei minuti in 15 minuti?
Errori comuni
  • «Lunghezza dell'arco = πr² × θ/360.» Questa è la formula dell'area. La lunghezza dell'arco deriva dalla circonferenza 2πr ed è misurata in cm; l'area deriva da πr² ed è misurata in cm².
  • «Raddoppia l'angolo, raddoppia la corda.» Solo gli archi e le aree sono proporzionali all'angolo. In una circonferenza di raggio 10 le corde per 60° e 120° misurano 10 e circa 17.3.
  • «Un settore di 45° di un cerchio di diametro 8 ha arco 2π × 8 × 45/360.» La formula usa il raggio. Con r = 4 l'arco è 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, la metà della risposta sbagliata.
Nota per l'insegnanteNel curricolo nazionale coreano del 2022, uno standard per la scuola media, classi da 1 a 3, chiede agli studenti di capire la relazione tra l'angolo al centro e l'arco di un settore e di usarla per trovare lunghezza dell'arco e area. Il curricolo dice anche che non si trattano figure composte complicate, quindi limita gli esercizi a settori, segmenti circolari e combinazioni semplici. L'ostacolo più comune è memorizzare le due formule come fatti separati. Parti dal quadrante di un orologio o da una pizza e chiedi: «Quale frazione del cerchio è questa?» Gli studenti che rispondono «un terzo» prima di scrivere qualcosa raramente confondono le formule in seguito.
Punti chiave
  • Un settore con angolo al centro θ è θ/360 del cerchio.
  • Arco ℓ = 2πr × θ/360. Area S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • Arco e area sono proporzionali all'angolo al centro; la corda no.
  • Diagrammi a torta: angolo = quota × 360°. Segmento circolare = settore − triangolo.
Fonti di questo corso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consultato il: 2026-10-19