弧の長さと扇形の面積

長さ10 cmの分針は20分で120°、文字盤の三分の一を動き、先端は約20.9 cm進みます。

まず分針の先端で考える

壁掛け時計の分針の長さは10 cmです。3:00から3:20までに、針の先端はどれだけ進むでしょうか。先を読む前に、まず自分で考えてみましょう。必要なのは、これまでの単元で学んだことだけです。

分針の長さは10 cmです。20分間で、先端が進む距離は何cmですか？（πは3.14を使い、小数第二位まで）

2つの事実から答えが分かります。分針は60分で360°、つまり1周するので、1分に6°、20分に120°回転します。1周すると、先端は半径10 cmの円を描き、その距離は2π × 10 ≈ 62.8 cmです。20分は360°のうちの120°、つまり1周の3分の1なので、先端が進む距離もその3分の1の約20.9 cmです。先端が通る道筋が弧で、針が通過してできる領域が中心角120°の扇形です。

弧も面積も円全体に対する割合は同じ

時計の考え方は、どの扇形にも使えます。中心角θの扇形は、一周のθ/360にあたるので、弧の長さは円周のθ/360で、弧の長さℓ = 2πr × θ/360です。扇形は円板全体のθ/360なので、面積にも同じ割合が当てはまり、扇形の面積S = πr² × θ/360です。半径6 cmの円で、60°の扇形は円の六分の一です。その弧は2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm、面積はπ × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm²です。逆向きに考えると、半径10 cmの円で弧の長さが5π cmなら、5π ÷ 20π = 1/4で円周の四分の一にあたり、中心角は90°です。

弧の長さと扇形の面積は中心角に比例します。角を2倍にすると、どちらも2倍になります。しかし、弦はそうではありません。半径10の円では、中心角60°に対応する弦の長さは10です。2本の半径と弦でできる三角形が正三角形になるからです。中心角120°に対応する弦は約17.3であり、20ではありません。一方、弧は約10.5から約20.9へと2倍になります。まっすぐな弦は曲がった道を横切るので、角が大きいほど距離を短縮できます。それでも、等しい角には等しい弦が対応します。ユークリッドは第III巻の命題28で、等しい円では等しい弦が等しい弧を切り取ることを証明しています。

左は中心角θ、半径r、弧ℓの扇形です。右は半径10の円です。オレンジ色の60°の角には長さ10の弦と約10.5の弧が対応します。青色の120°の角に対応する弧はその2倍の約20.9ですが、弦は約17.3にしかなりません。

角度不要の面積公式

弧の長さに半径の半分を掛けて、何が出てくるか見てみましょう。½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360。これは先ほどの扇形の面積と同じなので、S = ½rℓです。三角形の公式「底辺×高さ÷2」に似ていますが、それには理由があります。細い扇形は、弧を底辺、半径を高さとする三角形にほぼ等しいからです。半径8 cm、弧の長さ10 cmの扇形の面積は½ × 8 × 10 = 40 cm²で、角度は必要ありませんでした。これは円錐の側面積の公式の土台になる式です。

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r = 3 cm、h = 4 cmの円錐で、母線の長さlは5 cmです。「展開する」を押すと、曲がった側面が半径5 cmの扇形に開きます。この扇形の弧はもともと底面の周りを囲んでいたので、弧の長さは2π × 3 cmで、中心角は360° × 3/5 = 216°です。側面積は½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm²で、パネルのπrlと同じ値です。

円グラフは扇形の集まり

円グラフは、中心角が360°に対する割合になっている扇形に円を分けたものです。全体の25%を占める項目の中心角は、0.25 × 360° = 90°です。下のグラフでは、50人中16人が3冊買いました。16 ÷ 50 = 32%で、0.32 × 360° = 115.2°です。面積は角に比例するので、一つの区分の面積が全体に占める割合は、その人数の割合と同じです。

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区分をクリックして百分率と中心角を見ましょう。六つの角の和は360°です。

弓形（弦とその弧の間の領域）は、扇形から三角形を引いたものです。半径10 cmの円で、90°の弓形の面積は25π − 50 ≈ 28.54 cm²です。四分の一円から、直角をはさむ二辺が10と10の直角三角形を引いた値です。

弧ℓ = 2πr × θ/360、面積S = πr² × θ/360 = ½ r ℓです。

半径6 cm、中心角60°の扇形の弧の長さを求めましょう（πは3.14を使います）。
半径6 cm、中心角60°の扇形の面積を求めましょう（πは3.14を使います）。
半径10 cmの円で、弧の長さは5π cmです。中心角は何度ですか？
半径8 cm、弧の長さ10 cmの扇形があります。その面積を求めましょう。
円グラフで、ある項目は全体の25%です。その中心角は何度ですか？
円グラフの区分の中心角は72°です。全体のどれだけの割合ですか？
- 1/5
- 1/4
- 1/6
- 72/100
底面の半径が3 cm、母線の長さが5 cmの円錐があります。展開すると、側面は扇形になります。その中心角は何度ですか？
一つの円で中心角を二倍にすると、二倍になるのはどれですか？
- 弧と扇形の面積
- 弧、面積、弦
- 弦だけ
- 何も二倍にならない
直径30 cmのピザを8等分に切ります。一切れの外側のふちの長さは何cmですか？（πは3.14を使います）
半径10 cmの円で、中心角90°が切り取る弓形の面積を求めましょう（πは3.14を使います）。
分針は15分で何度回りますか？

よくある間違い

「弧の長さ = πr² × θ/360です」 それは面積の公式です。弧の長さは円周2πrから求め、単位はcmです。面積はπr²から求め、単位はcm²です。
「中心角が倍なら弦も倍です」 角に比例するのは、弧と面積だけです。半径10の円では、60°と120°の弦は10と約17.3です。
「直径8、45°の弧は2π × 8 × 45/360です」 公式に使うのは半径です。r = 4なら、弧は2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14で、間違った答えの半分です。

先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、中学校1～3年の学習基準の1つとして、扇形の中心角と弧の関係を理解し、それを使って弧の長さと面積を求めるよう求めています。また、複雑な合成図形は扱わないとされているので、練習は扇形、弓形、単純な組み合わせにとどめましょう。よくあるつまずきは、2つの公式を別々の事実として暗記することです。時計の文字盤やピザから始め、「これは円の何分のいくつですか」と尋ねましょう。書き始める前に「3分の1」と答えられる学習者は、その後、公式を混同することがほとんどありません。

ポイント

中心角θの扇形は全体のθ/360です。
弧ℓ = 2πr × θ/360、面積S = πr² × θ/360 = ½ r ℓです。
弧と面積は中心角に比例しますが、弦の長さは比例しません。
円グラフ：角 = 割合 × 360°。弓形 = 扇形 − 三角形。

このコースの出典 (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

確認日: 2026-10-19