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Início›Geometria e desenho›Circunferências

Comprimento de arco e área de setor

Em 20 minutos, a ponta de um ponteiro de minutos de 10 cm varre 120°, um terço do mostrador, e percorre cerca de 20.9 cm.

Tente primeiro: a ponta do ponteiro de minutos

Um relógio de parede tem ponteiro de minutos de 10 cm. Quanto sua ponta percorre entre 3:00 e 3:20? Tente antes de continuar. Basta o que você já aprendeu.

  1. Um ponteiro de minutos mede 10 cm. Quanto a ponta percorre em 20 minutos? (use 3.14 para π, duas casas decimais)

Dois fatos resolvem. O ponteiro completa 360° em 60 minutos: gira 6° por minuto e 120° em 20 minutos. Numa volta, a ponta percorre uma circunferência de raio 10 cm, distância 2π × 10 ≈ 62.8 cm. Vinte minutos são 120 de 360 graus, um terço da volta; a ponta percorre um terço da distância, cerca de 20.9 cm. Sua trajetória é um arco; a região varrida pelo ponteiro é um setor de ângulo central 120°.

Arco e área correspondem à mesma fração do círculo

O argumento do relógio vale para qualquer setor. Um ângulo central θ ocupa θ/360 da volta, então seu arco é θ/360 da circunferência: comprimento ℓ = 2πr × θ/360. A mesma fração vale para a área, pois o setor é θ/360 do disco: área S = πr² × θ/360. Com raio 6 cm, um setor de 60° é um sexto do círculo. Seu arco é 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm e sua área é π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm². Ao contrário, um arco de 5π cm numa circunferência de raio 10 cm é 5π ÷ 20π = 1/4 da volta, então o ângulo central é 90°.

Arcos e áreas de setor são proporcionais ao ângulo central: dobre-o e ambos dobram. Cordas não. Numa circunferência de raio 10, 60° determina corda de comprimento 10, pois o triângulo com dois raios é equilátero. Um ângulo de 120° determina corda de cerca de 17.3, não 20. Já o arco dobra de cerca de 10.5 para 20.9. A corda reta corta caminho pela curva; quanto maior o ângulo, maior a economia. Ângulos iguais ainda dão cordas iguais: na proposição 28 do livro III, Euclides demonstra que, em circunferências iguais, cordas iguais determinam arcos iguais.

À esquerda: setor de ângulo central θ, raio r e arco ℓ. À direita: com raio 10, o ângulo laranja de 60° tem corda 10 e arco de cerca de 10.5; o azul de 120° tem o dobro do arco, cerca de 20.9, mas corda de só cerca de 17.3.

Uma área de setor sem precisar do ângulo

Multiplique o comprimento do arco por metade do raio: ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. É a área do setor de novo, então S = ½rℓ. Parece a fórmula do triângulo, metade da base vezes altura, por um bom motivo: um setor fino é quase um triângulo de base igual ao arco e altura igual ao raio. Um setor de raio 8 cm com arco de 10 cm tem área ½ × 8 × 10 = 40 cm², sem precisar do ângulo. É a fórmula por trás da lateral curva do cone.

Carregando o modelo 3D

Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.

Um cone com r = 3 cm e h = 4 cm tem geratriz l de 5 cm. Aperte Planificar: a lateral vira um setor de raio 5 cm. O arco envolvia a base, então mede 2π × 3 cm e o ângulo central é 360° × 3/5 = 216°. A área lateral é ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm², o πrl do painel.

Todo gráfico de setores é feito de setores circulares

Um gráfico de setores divide o círculo em fatias cujos ângulos centrais são partes de 360°. Uma categoria com 25% do total recebe ângulo de 0.25 × 360° = 90°. No gráfico abaixo, 16 de 50 estudantes compraram 3 livros: 16 ÷ 50 = 32%, e 0.32 × 360° = 115.2°. Como área é proporcional ao ângulo, a proporção da área da fatia é igual à sua participação na contagem total.

Carregando

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Clique numa fatia. No painel, você vê sua participação em porcentagem e o ângulo central em graus. Os seis ângulos somam 360°.
Um segmento circular (região entre corda e arco) é um setor menos um triângulo. Com raio 10 cm, o segmento de 90° tem área 25π − 50 ≈ 28.54 cm²: o quarto de círculo menos o triângulo retângulo de catetos 10 e 10.

Arco ℓ = 2πr × θ/360. Área S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Raio 6 cm, ângulo central 60°. Encontre o comprimento do arco (use 3.14 para π).
  2. Raio 6 cm, ângulo central 60°. Encontre a área do setor (use 3.14 para π).
  3. Uma circunferência tem raio 10 cm. Um arco mede 5π cm. Qual é o ângulo central?
  4. Um setor tem raio 8 cm e arco de 10 cm. Encontre a área.
  5. Num gráfico de setores, uma categoria é 25% do total. Qual é seu ângulo central?
  6. Uma fatia de um gráfico de setores tem ângulo central de 72°. Que fração do total ela representa?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. Um cone tem raio da base 3 cm e geratriz 5 cm. A lateral planificada é um setor. Qual é o ângulo central?
  8. Você dobra um ângulo central numa circunferência. Quais quantidades dobram?
    • o arco e a área do setor
    • o arco, a área e a corda
    • só a corda
    • nenhuma dobra
  9. Uma pizza de 30 cm é cortada em 8 fatias iguais. Quanto mede a borda de uma fatia? (use 3.14 para π)
  10. Encontre a área do segmento determinado por ângulo central 90° num círculo de raio 10 cm (use 3.14 para π).
  11. Quantos graus gira um ponteiro de minutos em 15 minutos?
Erros comuns
  • “Comprimento do arco = πr² × θ/360.” Essa é a fórmula da área. O comprimento de arco vem da circunferência 2πr e é medido em cm; a área vem de πr² e é medida em cm².
  • “Dobre o ângulo central e a corda dobra.” Só arcos e áreas são proporcionais ao ângulo. Com raio 10, as cordas de 60° e 120° medem 10 e cerca de 17.3.
  • “Um setor de 45° numa circunferência de diâmetro 8 tem arco 2π × 8 × 45/360.” A fórmula usa o raio. Com r = 4, o arco é 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, metade da resposta errada.
Nota do professorNo currículo nacional coreano de 2022, um objetivo dos anos finais, do 1º ao 3º ano dessa etapa, pede compreender a relação entre ângulo central e arco e usá-la para achar comprimento e área. Figuras compostas complicadas ficam fora; limite os exercícios a setores, segmentos e combinações simples. A dificuldade é decorar as fórmulas como fatos separados. Comece por um relógio ou pizza e pergunte “que fração do círculo é essa?”. Quem diz “um terço” antes de escrever raramente confunde as fórmulas depois.
Pontos-chave
  • Um setor de ângulo central θ ocupa θ/360 do círculo.
  • Arco ℓ = 2πr × θ/360. Área S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • Arco e área são proporcionais ao ângulo central; comprimento da corda não.
  • Gráficos de setores: ângulo = participação × 360°. Segmento circular = setor − triângulo.
Fontes deste curso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Data de verificação: 2026-10-19