Área do círculo: por que é πr²
Uma pizza de diâmetro 30 cm é 1.5 vezes mais larga que uma de 20 cm, mas tem 2.25 vezes a quantidade de comida.
O palpite de “uma vez e meia”
Uma pizzaria vende pizzas de 20 cm e 30 cm. A maior é 1.5 vezes mais larga, e a maioria imagina que tenha cerca de 1.5 vezes a comida. Calcule. A de 20 cm tem raio 10 cm e área π × 10² ≈ 314 cm². A de 30 cm tem raio 15 cm e área π × 15² ≈ 707 cm². A razão é 225 ÷ 100 = 2.25. O palpite falha porque a área cresce em duas direções: multiplique todos os comprimentos por 1.5 e a área cresce por 1.5 × 1.5. Antes de confiar na fórmula A = πr² usada nessas contas, vale ver sua origem.
Corte o círculo em fatias e reorganize
Corte um círculo em 8 setores iguais, como uma pizza. Coloque-os lado a lado, com pontas alternadas para cima e para baixo. A forma lembra um paralelogramo ondulado. Sua altura é aproximadamente r, o raio. No alto ficam os arcos de quatro setores; embaixo, os outros quatro. Cada borda ondulada mede metade da circunferência, πr. Agora corte 24 setores. As ondulações diminuem, as pontas inclinadas se aproximam da vertical e a forma fica mais próxima de um retângulo de largura πr e altura r. Com cada vez mais setores, ela se aproxima quanto quisermos desse retângulo; a área do círculo é πr × r = πr².
Confira com quadrados. Um quadrado circunscrito ao círculo de raio r tem lado 2r e área 4r². Um inscrito, com vértices na circunferência, tem diagonais de comprimento 2r e área 2r². O círculo fica entre eles, então sua área está entre 2r² e 4r²; πr² ≈ 3.14r² serve. Polígonos regulares inscritos reduzem a diferença como fizeram para o comprimento na unidade 2: um de 16 lados cobre cerca de 3.0615r²; um de 64, cerca de 3.1365r².
A maioria dos erros vem dos dados de entrada
A fórmula é curta, então os erros vêm antes. Se receber o diâmetro, divida por dois: um círculo de diâmetro 8 cm tem r = 4 e área 16π ≈ 50.24 cm². Se receber o comprimento, ache r por C = 2πr primeiro: C = 31.4 cm dá r = 5 cm e área 25π ≈ 78.5 cm². Áreas usam unidades quadradas, cm² ou m². Como r é elevado ao quadrado, dobrar o raio multiplica a área por 4; triplicar, por 9.
Figuras feitas de retângulos e semicírculos seguem a mesma ideia, parte por parte. A OpenStax descreve uma pista com retângulo de 105 m de comprimento e 68 m de largura, com um semicírculo em cada ponta. Os dois têm diâmetro 68 m e juntos formam um círculo de raio 34 m. A área interna é 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 m². Uma coroa circular é o círculo maior menos o menor: entre raios 5 cm e 3 cm, cobre π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm².
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
A = πr² = (metade da circunferência) × r. Dobre r e a área fica 4 vezes maior.
- Encontre a área de um círculo de raio 10 cm (use 3.14 para π).
- Encontre a área de um círculo de diâmetro 8 cm (use 3.14 para π).
- Quantas vezes maior é a área de uma pizza de 30 cm que a de uma pizza de 20 cm?
- Você dobra o raio de uma circunferência. Sua área fica:
- 4 vezes maior
- 2 vezes maior
- 8 vezes maior
- π vezes maior
- Um círculo tem circunferência de comprimento 31.4 cm. Encontre a área (use 3.14 para π).
- Encontre a área de um semicírculo de raio 6 cm (use 3.14 para π).
- Uma coroa circular fica entre círculos concêntricos de raios 5 cm e 3 cm. Encontre a área (use 3.14 para π).
- Um círculo tem área 28.26 cm². Encontre o raio (use 3.14 para π).
- Quando os setores são colocados lado a lado, alternadamente, o lado longo do quase retângulo mede:
- metade da circunferência
- a circunferência inteira
- o diâmetro
- o raio
- A área do círculo de raio r fica entre:
- 2r² e 4r²
- r² e 2r²
- 4r² e 8r²
- 2r e 4r
- Uma pista é um retângulo de 105 m por 68 m com um semicírculo em cada ponta de 68 m. Encontre a área interna arredondada ao metro quadrado mais próximo (use a tecla π).
- “Área do círculo = 2πr.” Esse é o comprimento da circunferência, em cm. A área precisa de r duas vezes e usa cm². Para r = 10, o comprimento é cerca de 62.8 cm e a área, cerca de 314 cm².
- “Com o diâmetro, área = π × d².” Usar d no lugar de r dá uma resposta 4 vezes maior, pois d² = 4r². Divida o diâmetro por dois primeiro.
- “Se a largura é 1.5 vezes maior, a área também é 1.5 vezes maior.” A área cresce pelo quadrado do fator de comprimento: 1.5² = 2.25. Vale para qualquer forma, não só círculos.
- A = πr². Com 3.14: r × r × 3.14.
- Cortado em setores alternados, o círculo fica quase um retângulo de largura πr e altura r.
- Com o diâmetro dado, divida por dois primeiro. Com o comprimento, encontre r primeiro.
- Dobrar r multiplica a área por 4.
Fontes deste curso (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Data de verificação: 2026-10-19