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홈›기하·도면›원

원의 넓이는 왜 πr²일까

지름 30 cm 피자는 지름 20 cm 피자보다 폭이 1.5배이지만, 먹을 수 있는 넓이는 2.25배입니다.

「1.5배 크다」는 짐작

피자 가게 메뉴에 지름 20 cm인 레귤러와 지름 30 cm인 라지가 있다고 합시다. 라지는 폭이 1.5배이니 양도 1.5배쯤이라고 짐작하기 쉽습니다. 계산해 보면 다릅니다. 레귤러는 반지름이 10 cm이고 넓이가 10 × 10 × 3.14 = 314 cm²입니다. 라지는 반지름이 15 cm이고 넓이가 15 × 15 × 3.14 ≈ 707 cm²입니다. 넓이의 비는 225 ÷ 100 = 2.25입니다. 짐작이 빗나간 까닭은 넓이가 가로와 세로 두 방향으로 함께 커지기 때문입니다. 모든 길이를 1.5배 하면 넓이는 1.5 × 1.5배가 됩니다. 이 계산에 쓴 원의 넓이 공식을 믿기 전에, 공식이 어디서 나오는지부터 확인해 봅시다.

부채꼴로 잘라 엇갈리게 늘어놓습니다

원을 피자처럼 똑같은 부채꼴 8개로 자릅니다. 그 조각들을 위아래로 엇갈려 나란히 늘어놓으면 울퉁불퉁한 평행사변형 모양이 됩니다. 높이는 거의 반지름 r입니다. 위쪽에는 부채꼴 4개의 호가, 아래쪽에는 나머지 4개의 호가 놓이므로 물결 모양 가장자리 하나의 길이는 원주의 절반인 (반지름) × (원주율)입니다. 이번에는 24조각으로 잘라 봅시다. 울퉁불퉁한 부분이 작아지고 양 끝이 거의 수직으로 서면서, 모양이 가로 πr, 세로 r인 직사각형에 가까워집니다. 조각을 더 잘게 나눌수록 직사각형에 얼마든지 가까워지므로 원의 넓이는 (원주의 절반) × (반지름) = (반지름) × (반지름) × (원주율)입니다.

왼쪽: 8조각으로 자른 원입니다. 위쪽 절반은 파란색, 아래쪽 절반은 주황색입니다. 오른쪽: 같은 조각을 엇갈려 늘어놓은 모양으로, 위는 8조각, 아래는 24조각입니다. 조각이 많아질수록 세로가 r, 가로가 원주의 절반인 πr인 직사각형에 가까워집니다.

정사각형과 견주어 답을 확인해 봅시다. 반지름이 r인 원 바깥에 꼭 맞게 그린 정사각형은 한 변이 2r이라서 넓이가 4r²입니다. 원 안에 꼭짓점이 원 위에 오도록 그린 정사각형은 대각선이 2r이라서 넓이가 2r²입니다. 원은 두 정사각형 사이에 있으므로 원의 넓이는 2r²과 4r² 사이여야 하고, 3.14r²은 그 사이에 들어갑니다. 2단원에서 원주를 가둘 때처럼 원 안의 정다각형으로 더 좁힐 수도 있습니다. 원 안의 정16각형의 넓이는 약 3.0615r², 정64각형은 약 3.1365r²입니다.

실수는 대부분 공식에 넣는 값에서 나옵니다

공식이 짧은 만큼 실수는 공식에 넣기 전에 생깁니다. 지름이 주어지면 먼저 반으로 나눕니다. 지름이 8 cm인 원은 반지름이 4 cm이고 넓이는 4 × 4 × 3.14 = 50.24 cm²입니다. 원주가 주어지면 먼저 반지름을 구합니다. 원주가 31.4 cm이면 지름이 31.4 ÷ 3.14 = 10 cm, 반지름이 5 cm이고 넓이는 5 × 5 × 3.14 = 78.5 cm²입니다. 넓이의 단위는 cm²나 m²입니다. 반지름을 두 번 곱하므로 반지름을 2배 하면 넓이는 4배, 3배 하면 9배가 됩니다.

직사각형과 반원을 이어 붙인 도형도 조각마다 구해서 더하면 됩니다. 길이 105 m, 폭 68 m인 직사각형 양 끝에 반원을 붙인 운동장 트랙을 생각해 봅시다. 두 반원은 지름이 68 m이고, 합치면 반지름 34 m인 원 하나가 됩니다. 트랙 안쪽의 넓이는 105 × 68 + 34 × 34 × π = 7,140 + 3,631.68… ≈ 10,771.68 m²입니다. 두 원 사이의 고리 모양은 큰 원에서 작은 원을 빼면 됩니다. 반지름이 5 cm와 3 cm인 두 원 사이는 (25 − 9) × 3.14 = 50.24 cm²입니다.

3D 모형을 불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

아르키메데스는 구의 겉넓이가 구의 중심을 지나도록 자른 단면인 원 넓이의 4배임을 보였습니다. 아래 칸에 구의 겉넓이가 4πr²으로 나옵니다. r = 3 cm이면 약 113.1 cm²로, 3 × 3 × π ≈ 28.27 cm²의 4배입니다. 「아르키메데스 원기둥」을 누르면 구가 꼭 들어가는 원기둥이 나타납니다.
배경이집트에도 오래된 답이 남아 있습니다. MacTutor의 원주율 역사에 따르면 기원전 1650년 무렵의 린드 파피루스에는 원주율로 4 × (8/9)² ≈ 3.16을 썼다는 뚜렷한 근거가 있습니다. 이 값은 원 대신 한 변이 지름의 8/9인 정사각형을 쓸 때 나오는 값과 같습니다. 지름이 9인 원이라면 정사각형의 한 변은 8, 넓이는 64이고, 원의 실제 넓이는 4.5 × 4.5 × π ≈ 63.6입니다. 정사각형이 1%도 안 되게 클 뿐이니, 원주율 없이 쓰는 규칙치고는 아주 잘 맞습니다.

(원의 넓이) = (반지름) × (반지름) × (원주율) = (원주의 절반) × (반지름). 반지름이 2배이면 넓이는 4배.

  1. 반지름이 10 cm인 원의 넓이는? (원주율 3.14)
  2. 지름이 8 cm인 원의 넓이는? (원주율 3.14)
  3. 지름 30 cm 피자의 넓이는 지름 20 cm 피자의 몇 배일까요?
  4. 원의 반지름을 2배로 하면 넓이는?
    • 4배
    • 2배
    • 8배
    • π배
  5. 원주가 31.4 cm인 원의 넓이는? (원주율 3.14)
  6. 반지름이 6 cm인 반원의 넓이는? (원주율 3.14)
  7. 중심이 같고 반지름이 5 cm, 3 cm인 두 원 사이의 고리 모양 넓이는? (원주율 3.14)
  8. 넓이가 28.26 cm²인 원의 반지름은? (원주율 3.14)
  9. 부채꼴을 엇갈려 늘어놓아 만든 직사각형에 가까운 도형에서 가로의 길이는?
    • 원주의 절반
    • 원주 전체
    • 지름
    • 반지름
  10. 반지름이 r인 원의 넓이는 어느 사이에 있을까요?
    • 2r²과 4r²
    • r²과 2r²
    • 4r²과 8r²
    • 2r과 4r
  11. 가로 105 m, 세로 68 m인 직사각형의 68 m인 양쪽 끝에 반원을 붙인 트랙이 있습니다. 트랙 안쪽의 넓이를 일의 자리까지 구하세요. (계산기의 π 키 사용)
자주 하는 실수
  • 「원의 넓이 = 지름 × 원주율」 이 식으로 구하는 값은 원주이고, 단위가 cm인 길이입니다. 넓이는 반지름을 두 번 곱해야 하고 단위가 cm²입니다. 반지름이 10이면 원주는 약 62.8 cm, 넓이는 약 314 cm²입니다.
  • 「지름을 알면 넓이 = 지름 × 지름 × 원주율」 지름을 반지름 자리에 넣으면 d² = 4r²이라서 답이 4배로 커집니다. 지름을 먼저 반으로 나누세요.
  • 「폭이 1.5배이면 넓이도 1.5배」 넓이는 길이 배율의 제곱만큼 커집니다. 1.5 × 1.5 = 2.25배입니다. 원뿐 아니라 모든 도형에서 마찬가지입니다.
선생님 메모2022 개정 교육과정에서 원의 넓이는 초등학교 5~6학년군 [6수03-16]에 있습니다. 해설에는 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이를 구하는 방법을 이해하게 한다고 적혀 있는데, 이 단원의 부채꼴 늘어놓기가 바로 그 방법입니다. 학생들은 8조각 그림은 쉽게 받아들이지만 「정말 직사각형이 되나요?」에서 멈춥니다. 종이 원을 8조각, 16조각으로 직접 잘라 늘어놓고 가장자리를 비교하게 해 보세요. 울퉁불퉁함이 눈에 띄게 줄어들고, 질문은 「얼마나 잘게 자를 수 있을까」로 바뀝니다. 바로 그 질문이 공식의 근거입니다.
핵심 정리
  • (원의 넓이) = (반지름) × (반지름) × (원주율) = πr²
  • 부채꼴로 잘라 엇갈려 늘어놓으면 가로 πr, 세로 r인 직사각형에 가까워집니다.
  • 지름이 주어지면 먼저 반으로, 원주가 주어지면 먼저 반지름을 구합니다.
  • 반지름이 2배가 되면 넓이는 4배가 됩니다.
이 과정의 출처 (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

확인한 날: 2026-10-19