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Área de un círculo: por qué es πr²

Una pizza de 30 cm de diámetro es 1.5 veces más ancha que una de 20 cm, pero tiene 2.25 veces más comida.

La suposición de «una vez y media»

Una pizzería vende pizzas de 20 cm y de 30 cm. La mayor es 1.5 veces más ancha y casi todos suponen que contiene unas 1.5 veces más comida. Calcúlalo. La de 20 cm tiene radio 10 cm y área π × 10² ≈ 314 cm². La de 30 cm tiene radio 15 cm y área π × 15² ≈ 707 cm². La razón es 225 ÷ 100 = 2.25. La suposición falla porque el área crece en dos direcciones: multiplica cada longitud por 1.5 y el área aumenta por 1.5 × 1.5. Antes de confiar en la fórmula A = πr² que dio esos números, conviene ver de dónde sale.

Corta el círculo en rebanadas y reordénalas

Corta un círculo en 8 sectores iguales, como una pizza. Colócalos uno junto a otro, alternando las puntas hacia arriba y hacia abajo. Obtienes algo parecido a un paralelogramo con bordes ondulados. Su altura es aproximadamente r, el radio. Arriba están los arcos de cuatro sectores y abajo los de los otros cuatro, así que cada borde ondulado mide media circunferencia, πr. Corta ahora 24 sectores. Las ondulaciones se reducen, los extremos inclinados se acercan a la vertical y la figura se parece más a un rectángulo de ancho πr y altura r. Con cada vez más sectores puedes aproximarte tanto como quieras a ese rectángulo, así que el área del círculo es πr × r = πr².

Izquierda: un círculo dividido en 8 sectores, mitad superior azul e inferior naranja. Derecha: los mismos sectores alternados, primero 8 y luego 24. La figura se aproxima a un rectángulo de altura r y ancho πr, la mitad de la circunferencia.

Comprueba con cuadrados. Un cuadrado circunscrito a un círculo de radio r tiene lado 2r y área 4r². Uno inscrito, con los vértices en la circunferencia, tiene diagonales de longitud 2r y área 2r². El círculo está entre ambos, así que su área debe estar entre 2r² y 4r²; πr² ≈ 3.14r² encaja. Los polígonos regulares inscritos reducen la diferencia igual que para la longitud en la unidad 2: uno de 16 lados cubre unas 3.0615r²; uno de 64, unas 3.1365r².

La mayoría de los errores está en los datos de entrada

La fórmula es breve; los errores suelen ocurrir antes. Si te dan el diámetro, divídelo entre dos: un círculo de 8 cm de diámetro tiene r = 4 y área 16π ≈ 50.24 cm². Si te dan la longitud de la circunferencia, halla primero r con C = 2πr: C = 31.4 cm da r = 5 cm y área 25π ≈ 78.5 cm². Las áreas se expresan en unidades cuadradas, cm² o m². Y como r está al cuadrado, duplicar el radio multiplica el área por 4 y triplicarlo, por 9.

Las figuras compuestas de rectángulos y semicírculos se calculan igual, pieza por pieza. OpenStax describe una pista formada por un rectángulo de 105 m de largo y 68 m de ancho, con un semicírculo en cada extremo. Los dos tienen diámetro 68 m y juntos forman un círculo de radio 34 m. El área encerrada es 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 m². Una corona circular es el círculo grande menos el pequeño: entre radios de 5 cm y 3 cm cubre π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm².

Cargando el modelo 3D

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Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces el área de un círculo máximo, el que obtienes al cortarla por el centro. En el panel ves el área de la esfera como 4πr². Para r = 3 cm son unos 113.1 cm², cuatro veces π × 3² ≈ 28.27 cm². Presiona Cilindro de Arquímedes para ver el cilindro que circunscribe la esfera.
ContextoDe Egipto se conserva una respuesta más antigua. Según la historia de pi de MacTutor, el papiro de Rhind, fechado hacia 1650 a. C., ofrece pruebas sólidas del valor 4 × (8/9)² ≈ 3.16. Es el número que obtienes al sustituir un círculo por un cuadrado de lado igual a 8/9 del diámetro. Para un círculo de 9 unidades de diámetro, el cuadrado tiene lado 8 y área 64; el área real del círculo es π × 4.5² ≈ 63.6. El cuadrado se excede en menos de 1%, un resultado muy bueno para una regla que no necesita π.

A = πr² = (mitad de la circunferencia) × r. Duplica r y el área será 4 veces mayor.

  1. Halla el área de un círculo de radio 10 cm (usa 3.14 para π).
  2. Halla el área de un círculo de diámetro 8 cm (usa 3.14 para π).
  3. ¿Cuántas veces mayor es el área de una pizza de 30 cm que la de una pizza de 20 cm?
  4. Duplicas el radio de un círculo. Su área pasa a ser:
    • 4 veces mayor
    • 2 veces mayor
    • 8 veces mayor
    • π veces mayor
  5. La longitud de la circunferencia de un círculo es 31.4 cm. Halla su área (usa 3.14 para π).
  6. Halla el área de un semicírculo de radio 6 cm (usa 3.14 para π).
  7. Una corona circular está entre círculos concéntricos de radios 5 cm y 3 cm. Halla su área (usa 3.14 para π).
  8. Un círculo tiene área 28.26 cm². Halla su radio (usa 3.14 para π).
  9. Al alternar los sectores, el lado largo de la figura casi rectangular mide:
    • la mitad de la circunferencia
    • toda la circunferencia
    • el diámetro
    • el radio
  10. El área de un círculo de radio r está entre:
    • 2r² y 4r²
    • r² y 2r²
    • 4r² y 8r²
    • 2r y 4r
  11. Una pista es un rectángulo de 105 m por 68 m con un semicírculo en cada extremo de 68 m. Halla el área encerrada, redondeada al metro cuadrado más cercano (usa la tecla π).
Errores frecuentes
  • «Área de un círculo = 2πr». Esa es la longitud de la circunferencia, medida en cm. Para el área necesitas r dos veces y obtienes cm². Con r = 10, la circunferencia mide unos 62.8 cm y el área es de unos 314 cm².
  • «Con el diámetro, área = π × d²». Usar d en vez de r da un resultado 4 veces mayor porque d² = 4r². Divide primero el diámetro entre dos.
  • «1.5 veces más ancho significa 1.5 veces el área». El área aumenta con el cuadrado del factor de longitud: 1.5² = 2.25. La misma regla vale para cualquier figura, no solo para círculos.
Nota para docentesEn el currículo nacional coreano de 2022, el área del círculo corresponde a los grados 5 y 6 de primaria. Las notas indican que debe comprenderse cómo hallarla usando el área de un rectángulo: la reorganización de sectores de esta página. El alumnado suele aceptar el dibujo de 8 sectores, pero dudar del paso a «exactamente un rectángulo». Pide recortar círculos en 8 y luego en 16 sectores y comparar los bordes. Las ondulaciones se aplanan a simple vista; la pregunta pasa a ser hasta dónde puede continuar el proceso, que es justo la pregunta adecuada.
Ideas clave
  • A = πr². Con 3.14: r × r × 3.14.
  • Al cortar un círculo en sectores y alternarlos, se obtiene casi un rectángulo de ancho πr y altura r.
  • Si te dan el diámetro, divídelo entre dos. Si te dan la longitud de la circunferencia, halla primero r.
  • Duplicar r multiplica el área por 4.
Fuentes de este curso (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Fecha de consulta: 2026-10-19