Pi y la longitud de una circunferencia
Rodea con un hilo, una sola vuelta, cualquier objeto circular y el hilo medirá un poco más de tres diámetros. Arquímedes situó ese «poco más» entre 3 10/71 y 3 1/7.
Mide tres objetos redondos
Busca una taza, un plato y una lata de bebida. Rodea el borde de cada uno con una tira de papel, marca dónde se superpone, estírala y mídela. Esa es la longitud de la circunferencia: la distancia alrededor. Luego mide el diámetro por el centro de lado a lado. Supón que la taza mide 8 cm de diámetro y 25.1 cm alrededor; el plato, 24 cm y 75.4 cm. Divide la longitud del contorno entre el diámetro. Para la taza, 25.1 ÷ 8 = 3.1375; para el plato, 75.4 ÷ 24 ≈ 3.1417. El plato tiene el triple de ancho que la taza, pero ambos cocientes coinciden hasta dos decimales.
Ese cociente es igual para todas las circunferencias, grandes o pequeñas, y se llama pi, escrito π. OpenStax lo da como π = 3.141592654…, la razón entre longitud de la circunferencia y diámetro. Como la razón no cambia, se obtienen dos fórmulas de inmediato: C = πd y, dado que d = 2r, también C = 2πr. Una circunferencia de 10 cm de diámetro mide 10π ≈ 31.4 cm. Tus mediciones nunca darán π exacto: el papel se estira, los bordes tienen grosor y la regla solo indica milímetros. Midiendo obtienes las primeras dos cifras; para más, necesitas razonar.
Arrastra para girar. Usa la rueda de desplazamiento o separa y junta dos dedos para cambiar el zoom.
Encerrar π entre dos polígonos
Arquímedes de Siracusa encontró cómo acotar π sin medir. Dibuja un hexágono regular dentro de una circunferencia con sus seis vértices sobre ella. Se divide en seis triángulos equiláteros que se encuentran en el centro; cada lado equivale al radio y su perímetro es 6r = 3d. La circunferencia sobresale de cada lado, así que su longitud es mayor que 3d: π > 3. Ahora dibuja un cuadrado alrededor, tangente en cuatro puntos. Su lado equivale al diámetro, su perímetro es 4d y la circunferencia cabe dentro: π < 4.
Al duplicar los lados se estrechan ambas cotas. Para diámetro 1, OpenStax da estos perímetros: con 8 lados, entre 3.0615 y 3.3137; con 16, entre 3.1214 y 3.1826; con 64, entre 3.1403 y 3.1441. Arquímedes empezó con hexágonos y duplicó cuatro veces hasta 12, 24, 48 y 96 lados. Sin decimales ni trigonometría, calculó raíces cuadradas a mano como fracciones. Concluyó que π está entre 3 10/71 y 3 1/7; en decimales, 3.1408 < π < 3.1429. Con calculadora, los perímetros de 96 lados son 3.14103 y 3.14271. Sus dos fracciones quedan justo por fuera, así que ambas desigualdades siguen siendo válidas.
| Lados | Perímetro interior | Perímetro exterior |
|---|---|---|
| 4 | 2.8284 | 4.0000 |
| 6 | 3.0000 | 3.4641 |
| 8 | 3.0615 | 3.3137 |
| 12 | 3.1058 | 3.2154 |
| 16 | 3.1214 | 3.1826 |
| 24 | 3.1326 | 3.1597 |
| 32 | 3.1365 | 3.1517 |
| 48 | 3.1394 | 3.1461 |
| 64 | 3.1403 | 3.1441 |
| 96 | 3.1410 | 3.1427 |
Un metro más de hilo
Esta pregunta muestra dónde la fórmula supera a la intuición. Rodea una pelota con un hilo bien ajustado, agrega exactamente 1 m a su longitud y sepáralo uniformemente de la superficie en todo el contorno. ¿Cuánto espacio queda? La nueva longitud es C + 1, así que el nuevo radio es (C + 1) ÷ 2π: el radio anterior más 1 ÷ 2π, unos 0.159 m. La separación es de unos 15.9 cm. El tamaño de la pelota no aparece en el cálculo, así que la respuesta es igual para una pelota de tenis y para una tan grande como la Tierra.
C = πd = 2πr. π ≈ 3.14. Arquímedes: 3 10/71 < π < 3 1/7.
- Una circunferencia tiene diámetro 10 cm. Halla su longitud (usa 3.14 para π).
- Una circunferencia tiene radio 3 cm. Halla su longitud (usa 3.14 para π).
- Una circunferencia mide 47.1 cm de longitud. Halla su diámetro (usa 3.14 para π).
- Una circunferencia mide 62.8 cm de longitud. Halla su radio (usa 3.14 para π).
- Una rueda de 0.7 m de diámetro da 100 vueltas sin resbalar. ¿Cuántos metros recorre? (usa 3.14 para π)
- Un hexágono regular tiene sus vértices en una circunferencia. Su perímetro equivale a:
- 3 diámetros
- 2 diámetros
- 4 diámetros
- π diámetros
- ¿Qué afirmación es verdadera?
- 3 10/71 < π < 3 1/7
- π = 22/7 exactamente
- π = 3.14 exactamente
- π < 3
- ¿Por qué el polígono interior da una cota inferior de π?
- cada lado es un atajo que cruza un arco
- tiene menos lados que la circunferencia
- sus vértices están fuera de la circunferencia
- sus lados son más largos que el radio
- Se alarga 1 m un hilo que rodea una pelota y se separa uniformemente. ¿Cuántos centímetros de separación quedan aproximadamente? (un decimal)
- Longitud de circunferencia ÷ diámetro para un radio de 100 frente a uno de 1:
- igual
- 100 veces mayor
- 100 veces menor
- 10 veces mayor
- Se dibuja un cuadrado alrededor de una circunferencia de diámetro 5 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
- «π es 22/7». 22/7 = 3.142857…, mientras que π = 3.141592…. Arquímedes dio 22/7 como cota superior, no como el propio π.
- «C = πr». π relaciona la longitud de la circunferencia con el diámetro, no con el radio: C = πd = 2πr. Comprueba rápido: la longitud debe superar 3 diámetros, y πr solo equivale a unos 1.57 diámetros.
- «Con mi lata obtuve 3.05, así que π es distinto en circunferencias pequeñas». En objetos pequeños, los errores de medición son proporcionalmente mayores. Equivocarse un milímetro en una lata de 6 cm cambia la segunda cifra del cociente. La razón en sí es igual para todas las circunferencias.
- Longitud de la circunferencia ÷ diámetro es igual para todas: π = 3.14159…
- C = πd = 2πr. Usa 3.14 o la tecla π.
- Un hexágono inscrito da π > 3; un cuadrado circunscrito da π < 4.
- Arquímedes, con polígonos de 96 lados: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Fuentes de este curso (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Fecha de consulta: 2026-10-19