Partes de una circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco, sector y tangente

Dibuja dos cuerdas cualesquiera en un plato redondo. Las rectas que cortan cada cuerda por la mitad perpendicularmente se cruzan en un único punto: el centro.

¿Dónde está el centro de un plato redondo?

Supón que recortas un círculo de papel de una revista y quieres atravesarlo con un alfiler justo en el centro. Como no tiene esquinas desde las que medir, una regla sola ayuda poco. Doblarlo sí sirve. Dóblalo exactamente por la mitad hasta que ambas partes coincidan: el pliegue pasa por el centro. Ábrelo y dóblalo por la mitad en otra dirección; el segundo pliegue cruza al primero en el centro. En los Elementos de Euclides se hace lo mismo con rectas en lugar de pliegues. Es la primera proposición del libro III, dedicado a las circunferencias: hallar el centro de una circunferencia dada.

Una distancia desde un punto

Una circunferencia es el conjunto de puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo. Ese punto es el centro y suele llamarse O. Un segmento del centro a cualquier punto de la circunferencia es un radio, y su longitud se escribe r. Como todos los puntos están a igual distancia, todos los radios de una circunferencia son iguales y hay infinitos: uno por punto. Un segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro es un diámetro, d. Equivale a dos radios unidos por sus extremos: d = 2r y r = d ÷ 2. Una circunferencia de radio 7 cm tiene diámetro 14 cm. Con un compás dibujas exactamente esta definición: la punta queda en el centro y el lápiz, a un radio de distancia.

Cuerdas, arcos, sectores y segmentos circulares

Una cuerda es cualquier segmento cuyos extremos están en la circunferencia. El diámetro también es una cuerda: la que pasa por el centro. Además es la más larga; Euclides demuestra en la proposición 15 del libro III que el diámetro es el mayor segmento de un círculo. Dos puntos de una circunferencia también dividen la curva en dos partes. Cada una es un arco: la corta es el arco menor y la larga, el mayor. Si los puntos son los extremos de un diámetro, ambos arcos son semicircunferencias. El arco de A a B se escribe AB con una pequeña marca curva encima de las letras.

De estas partes se obtienen dos regiones. Un sector circular es la región delimitada por dos radios y el arco entre ellos, como una rebanada de pizza. El ángulo entre los radios es el ángulo central del sector. Un segmento circular es la región entre una cuerda y su arco. Corta un pan redondo con un solo corte recto: la pieza separada es un segmento circular. Si el corte es un diámetro, el segmento es un semicírculo, que también es un sector con ángulo central de 180°.

Rectas que cortan la circunferencia en uno o dos puntos

Una recta puede tener dos puntos en común con una circunferencia, uno o ninguno. Una recta que pasa por dos puntos de ella es una secante; su parte interior es una cuerda. Si tiene exactamente un punto en común, es una tangente, y ese punto es el punto de tangencia. Según la definición de Euclides, una recta toca una circunferencia cuando llega a ella y, al prolongarse en ambas direcciones, no la corta. La rueda de una bicicleta sobre un camino plano permite verlo: el camino toca la llanta en un punto y nunca entra en ella. En la unidad 6 demostrarás que el radio trazado hasta ese punto siempre es perpendicular a la tangente.

Hallar el centro con dos cuerdas

Vuelve al círculo de papel, esta vez sin doblarlo. Dibuja una cuerda AB y marca su punto medio M. Por M traza la perpendicular a AB: la mediatriz de la cuerda. Cada punto de esa recta está a la misma distancia de A que de B. El centro cumple eso, porque OA y OB son radios, así que está en algún lugar de la recta. Repite con una cuerda CD no paralela a la primera. El centro está en ambas rectas, y dos rectas no paralelas solo se cruzan una vez. Su intersección es el centro. Euclides enuncia el hecho clave como corolario de la proposición 1 del libro III: si una recta divide una cuerda en dos partes iguales perpendicularmente, el centro está en esa recta.