Элементы окружности: радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и касательная

Нарисуй на круглой тарелке две любые хорды. Прямые, которые делят каждую хорду пополам под прямым углом, пересекутся ровно в одной точке, и эта точка — центр.

Где середина круглой тарелки?

Представь, что ты вырезал бумажный круг из журнала и хочешь проткнуть булавкой точно его середину. У круга нет углов, от которых можно вести измерения, поэтому одной линейки недостаточно. Поможет складывание. Сложи бумагу ровно пополам, чтобы половины совпали: линия сгиба пройдёт через центр. Разверни круг, сложи его пополам в другом направлении, и второй сгиб пересечёт первый в центре. В «Началах» Евклида та же задача решается прямыми вместо сгибов. Это самое первое предложение книги III, посвящённой кругам: найти центр данного круга.

Одно расстояние от одной точки

Окружность — множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной неподвижной точки. Эта точка называется центром и обычно обозначается O. Отрезок от центра до любой точки окружности называется радиусом, его длина обозначается r. Поскольку все точки окружности равноудалены от центра, все её радиусы равны. Их бесконечно много: по одному для каждой точки. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр, называется диаметром, d. Он состоит из двух радиусов, расположенных на одной прямой, поэтому d = 2r и r = d ÷ 2. У окружности радиуса 7 см диаметр равен 14 см. Циркуль чертит именно то, что описывает это определение: его игла остаётся в центре, а карандаш держится на расстоянии одного радиуса.

Хорды, дуги, секторы и сегменты

Хорда — любой отрезок, оба конца которого лежат на окружности. Диаметр тоже хорда, но проходящая через центр. Это также самая длинная хорда: в предложении 15 книги III Евклид доказывает, что диаметр является наибольшей прямой в круге. Две точки окружности делят и саму кривую на две части. Каждая часть называется дугой. Более короткая называется малой дугой, более длинная — большой. Если точки — концы диаметра, обе дуги — полуокружности. Дугу от A до B обозначают буквами AB с маленькой дугообразной чертой над ними.

Из этих частей получаются два вида областей. Сектор — область, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними, похожая на кусок пиццы. Угол между радиусами называется центральным углом сектора. Сегмент круга — область между хордой и соответствующей дугой. Разрежь круглую буханку одним прямым разрезом: отделившийся кусок будет сегментом. Если разрез проходит по диаметру, сегмент представляет собой полукруг. Полукруг также является сектором с центральным углом 180°.

Прямые, имеющие с окружностью одну или две общие точки

Прямая может иметь с окружностью две общие точки, одну или ни одной. Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а её часть внутри круга является хордой. Прямая с единственной общей точкой называется касательной, а эта точка — точкой касания. По определению Евклида прямая касается круга, если встречается с ним, но при продолжении в обе стороны не пересекает его. Хороший пример — велосипедное колесо на ровной дороге: дорога соприкасается с шиной в одной точке и нигде не проходит внутри неё. В уроке 6 доказывается, что радиус, проведённый в точку касания, всегда образует с касательной прямой угол.

Поиск центра по двум хордам

Вернёмся к бумажному кругу, теперь без складывания. Проведи любую хорду AB и отметь её середину M. Через M проведи прямую под прямым углом к AB: серединный перпендикуляр к хорде. Каждая точка этой прямой равноудалена от A и B. Центр обладает этим свойством, ведь OA и OB являются радиусами, значит, центр лежит где-то на этой прямой. Повтори построение со второй хордой CD, не параллельной первой. Центр лежит на обеих прямых, а две непараллельные прямые пересекаются только один раз. Их точка пересечения и есть центр. Евклид формулирует главный факт в следствии к предложению 1 книги III: если прямая делит хорду на две равные части под прямым углом, центр круга лежит на этой прямой.