Teile des Kreises: Radius, Durchmesser, Sehne, Bogen, Sektor und Tangente
Zeichne zwei beliebige Sehnen auf einen runden Teller. Ihre Mittelsenkrechten schneiden sich in genau einem Punkt: dem Mittelpunkt.
Wo liegt die Mitte eines runden Tellers?
Du schneidest eine Kreisscheibe aus einer Zeitschrift und willst genau die Mitte mit einer Nadel durchstechen. Ohne Ecken als Ausgangspunkt hilft ein Lineal wenig. Falten hilft: Falte genau halb, bis beide Hälften deckungsgleich sind. Die Falte läuft durch den Mittelpunkt. Falte andersherum noch einmal halb; die Falten kreuzen sich im Mittelpunkt. Euklids Elemente lösen dieselbe Aufgabe mit Geraden statt Falten. Es ist die erste Aufgabe von Buch III über Kreise: den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises finden.
Gleicher Abstand von einem Punkt
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die vom selben festen Punkt den gleichen Abstand haben. Dieser feste Punkt ist der Mittelpunkt, meist O genannt. Eine Strecke vom Mittelpunkt zu irgendeinem Punkt des Kreises ist ein Radius, und seine Länge schreibt man r. Da jeder Punkt des Kreises gleich weit entfernt ist, sind alle Radien eines Kreises gleich lang, und es gibt unendlich viele davon: einen für jeden Punkt. Eine Strecke, die zwei Punkte des Kreises verbindet und durch den Mittelpunkt geht, ist ein Durchmesser d. Er besteht aus zwei aneinandergelegten Radien, also gilt d = 2r und r = d ÷ 2. Ein Kreis mit dem Radius 7 cm hat den Durchmesser 14 cm. Ein Zirkel zeichnet genau diese Definition: Seine Spitze bleibt im Mittelpunkt, während der Stift einen Radius weit entfernt bleibt.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
Sehnen, Bögen, Sektoren und Segmente
Eine Sehne ist jede Strecke, deren beide Enden auf dem Kreis liegen. Auch ein Durchmesser ist eine Sehne, nämlich die, die durch den Mittelpunkt geht. Er ist außerdem die längste Sehne; Euklid beweist in Buch III, Satz 15, dass der Durchmesser die größte Gerade im Kreis ist. Zwei Punkte auf einem Kreis teilen außerdem die Kreislinie selbst in zwei Stücke. Jedes Stück ist ein Bogen. Der kürzere ist der kleine Bogen und der längere der große Bogen. Wenn die beiden Punkte die Enden eines Durchmessers sind, sind beide Bögen Halbkreise. Einen Bogen von A nach B schreibt man als AB mit einem kleinen gekrümmten Zeichen über den Buchstaben.
Daraus entstehen zwei Flächenstücke. Ein Kreissektor ist der Bereich zwischen zwei Radien und dem Bogen dazwischen, wie ein Pizzastück. Der Winkel zwischen den Radien heißt Mittelpunktswinkel. Ein Kreissegment liegt zwischen Sehne und Bogen. Schneide einen runden Brotlaib gerade durch: Das abgetrennte Stück ist ein Kreissegment. Geht der Schnitt durch die Mitte, entsteht ein Halbkreis, zugleich ein Sektor mit Mittelpunktswinkel 180°.
Geraden mit einem oder zwei Kreispunkten
Eine Gerade kann einen Kreis in zwei Punkten, in einem Punkt oder gar nicht treffen. Eine Gerade durch zwei Punkte des Kreises ist eine Sekante, und der Teil von ihr innerhalb des Kreises ist eine Sehne. Eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt trifft, ist eine Tangente, und der gemeinsame Punkt heißt Berührpunkt. Nach Euklids Definition berührt eine Gerade einen Kreis, wenn sie den Kreis trifft und, nach beiden Seiten verlängert, ihn nicht schneidet. Ein Fahrradrad, das auf ebener Straße steht, zeigt die Idee gut: Die Straße trifft den Reifen in einem Punkt und geht nie in ihn hinein. In Einheit 6 beweist du, dass der Radius zu diesem Punkt immer senkrecht auf der Tangente steht.
Mit zwei Sehnen die Mitte finden
Zurück zur Papierscheibe, diesmal ohne Falten. Zeichne eine beliebige Sehne AB und markiere ihren Mittelpunkt M. Zeichne durch M die Senkrechte zu AB, die Mittelsenkrechte. Jeder Punkt darauf ist gleich weit von A und B entfernt. Das gilt auch für den Kreismittelpunkt, denn OA und OB sind Radien. Wiederhole mit einer nicht parallelen Sehne CD. Der Mittelpunkt liegt auf beiden Mittelsenkrechten. Nicht parallele Geraden schneiden sich nur einmal, hier im Kreismittelpunkt. Euklid nennt die entscheidende Aussage als Folgerung zu Satz 1 in Buch III: Halbiert eine Gerade eine Sehne senkrecht, liegt der Mittelpunkt auf ihr.
| Mittelpunkt | Der feste Punkt; jeder Punkt des Kreises hat von ihm denselben Abstand. |
| Radius r | Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie |
| Durchmesser d | Sehne durch die Mitte; d = 2r, die längste Sehne |
| Sehne | Strecke zwischen zwei Kreispunkten |
| Bogen | Teil der Kreislinie zwischen zwei Punkten |
| Sektor | Bereich zwischen zwei Radien und ihrem Bogen |
| Kreissegment | Bereich zwischen Sehne und Bogen |
| Tangente | Gerade mit genau einem gemeinsamen Kreispunkt |
| Sekante | Gerade mit zwei gemeinsamen Kreispunkten |
- Ein Kreis hat Radius 7 cm. Wie groß ist sein Durchmesser?
- Ein Kreis hat Durchmesser 18 cm. Wie groß ist sein Radius?
- Was ist die längste Sehne eines Kreises?
- ein Durchmesser
- ein Radius
- eine Sehne nahe dem Rand
- alle Sehnen sind gleich lang
- Wie viele Radien hat ein Kreis?
- unendlich viele
- 2
- 4
- 360
- Der Bereich zwischen Sehne und Bogen heißt:
- Kreissegment
- Sektor
- nur Halbkreis
- Sekante
- Eine Gerade mit genau einem Kreispunkt heißt:
- Tangente
- Sekante
- Sehne
- Durchmesser
- Ein Kreis hat Radius 5 cm. Der Sehnenmittelpunkt ist 3 cm vom Zentrum entfernt. Wie lang ist die Sehne?
- Ein Kreis hat Radius 13 cm. Eine Sehne liegt 5 cm vom Mittelpunkt entfernt. Wie lang ist sie?
- Eine Sehne von 16 cm liegt im Kreis mit Radius 10 cm. Wie weit ist sie vom Mittelpunkt entfernt?
- Ist jeder Durchmesser eine Sehne?
- ja, die Sehne durch den Mittelpunkt
- nein, Sehnen gehen nie durch die Mitte
- nur bei großen Kreisen
- nur wenn er quer gezeichnet ist
- Die Mittelsenkrechte jeder Sehne geht durch:
- den Kreismittelpunkt
- ein Sehnenende
- den Berührpunkt einer Tangente
- keinen besonderen Punkt
- „Ein Durchmesser ist keine Sehne, das sind verschiedene Dinge.“ Der Durchmesser ist die besondere Sehne, die durch den Mittelpunkt geht. Er ist eine Sehne und zugleich die längste.
- „Bogen AB und Sehne AB sind gleich lang, weil beide von A nach B gehen.“ Die Sehne ist der gerade, der Bogen der gekrümmte Weg. Eine Strecke ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten, also ist der Bogen länger.
- „Sektor und Segment sind zwei Namen derselben Form.“ Ein Sektor hat eine Ecke im Zentrum und zwei gerade Seiten. Ein Segment hat nur eine gerade Seite, die Sehne, und keine Ecke im Zentrum. Nur der Halbkreis ist beides.
- Ein Kreis umfasst alle Punkte im Abstand r von O. Jeder Radius hat Länge r, und d = 2r.
- Eine Sehne verbindet zwei Kreispunkte; der Durchmesser ist die längste.
- Bogen: Teil der Kreislinie. Sektor: zwei Radien und Bogen. Segment: Sehne und Bogen.
- Eine Sekante trifft zweimal, eine Tangente einmal. Jede Sehnenmittelsenkrechte läuft durch den Mittelpunkt.
Quellen zu diesem Kurs (5)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
- Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
- OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
- Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
- History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).
Abgerufen: 2026-10-19