Partes da circunferência: raio, diâmetro, corda, arco, setor e tangente

Desenhe duas cordas quaisquer num prato redondo. As retas perpendiculares que dividem cada corda ao meio se cruzam num único ponto: o centro.

Onde fica o meio de um prato redondo?

Suponha que você recorte um círculo de uma revista e queira passar um alfinete exatamente pelo centro. Sem vértices de onde medir, só uma régua ajuda pouco. Dobrar ajuda. Dobre exatamente ao meio, fazendo as metades coincidirem: a dobra passa pelo centro. Abra e dobre ao meio de outro jeito; a segunda dobra cruza a primeira no centro. Nos Elementos de Euclides, faz-se o mesmo com retas em vez de dobras. É a primeira proposição do livro III, dedicado às circunferências: encontrar o centro de uma circunferência dada.

Uma distância a partir de um ponto

Uma circunferência é o conjunto de pontos de um plano à mesma distância de um ponto fixo. Esse ponto é o centro, geralmente O. Um segmento do centro até um ponto da circunferência é um raio, de comprimento r. Como todos os pontos estão à mesma distância, todos os raios são iguais e há infinitos: um por ponto. Um segmento que une dois pontos da circunferência e passa pelo centro é um diâmetro, d. São dois raios ponta a ponta: d = 2r e r = d ÷ 2. Uma circunferência de raio 7 cm tem diâmetro 14 cm. Com o compasso, você desenha essa definição: a ponta fica no centro e o lápis, a um raio de distância.

Cordas, arcos, setores e segmentos circulares

Uma corda é um segmento com as duas pontas na circunferência. O diâmetro também é corda: a que passa pelo centro. É ainda a maior; na proposição 15 do livro III, Euclides demonstra que o diâmetro é o maior segmento num círculo. Dois pontos também dividem a curva em duas partes, os arcos. O mais curto é o arco menor; o mais longo, o maior. Quando os pontos são extremos de um diâmetro, ambos são semicircunferências. O arco de A a B é escrito AB com uma pequena marca curva sobre as letras.

Dessas partes surgem duas regiões. Um setor circular é a região entre dois raios e o arco entre eles, como uma fatia de pizza. O ângulo entre os raios é o ângulo central do setor. Um segmento circular é a região entre uma corda e seu arco. Corte um pão redondo com um corte reto: a peça separada é um segmento circular. Se o corte é um diâmetro, a região é um semicírculo, também um setor de ângulo central 180°.

Retas que encontram a circunferência em um ou dois pontos

Uma reta pode ter dois pontos em comum com a circunferência, um ou nenhum. Se passa por dois, é secante; sua parte interna é uma corda. Se tem exatamente um ponto em comum, é tangente, e esse é o ponto de tangência. Na definição de Euclides, uma reta toca a circunferência quando a encontra e, prolongada nas duas direções, não a corta. A roda de uma bicicleta sobre uma rua plana mostra bem: a rua toca o pneu num ponto e nunca entra nele. Na unidade 6, você demonstrará que o raio até esse ponto é sempre perpendicular à tangente.

Encontrando o centro com duas cordas

Volte ao círculo de papel, agora sem dobrar. Trace uma corda AB e marque seu ponto médio M. Por M, trace a perpendicular a AB: a mediatriz da corda. Todos os seus pontos estão à mesma distância de A e B. O centro também, pois OA e OB são raios, então está nessa reta. Repita com outra corda CD, não paralela à primeira. O centro pertence às duas mediatrizes, e duas retas não paralelas só se cruzam uma vez. A interseção é o centro. Euclides enuncia isso como corolário da proposição 1 do livro III: se uma reta divide uma corda em partes iguais perpendicularmente, o centro está nessa reta.