Unsur lingkaran: jari-jari, diameter, tali busur, busur, juring, garis singgung

Gambar dua tali busur sembarang pada piring bulat. Garis tegak lurus yang membagi keduanya sama panjang bertemu tepat di pusat.

Di mana tengah piring bulat?

Misalkan kamu menggunting lingkaran kertas dari majalah dan ingin menusukkan jarum tepat di tengahnya. Lingkaran tidak memiliki sudut yang bisa dijadikan pangkal pengukuran, sehingga penggaris saja tidak banyak membantu. Melipat kertas justru membantu. Lipat kertas tepat menjadi dua agar kedua bagiannya saling menutupi, dan garis lipatan akan melewati pusat. Buka lipatannya, lalu lipat lagi menjadi dua dengan arah berbeda. Garis lipatan kedua memotong yang pertama di pusat. Elements karya Euclid melakukan hal yang sama dengan garis lurus, bukan lipatan. Inilah proposisi pertama dalam Buku III, buku tentang lingkaran: menemukan pusat sebuah lingkaran yang diberikan.

Jarak sama dari satu titik

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang berjarak sama dari satu titik tetap. Titik tetap itu disebut pusat, biasanya diberi nama O. Ruas garis dari pusat ke sembarang titik pada lingkaran disebut jari-jari, dan panjangnya ditulis r. Karena setiap titik pada lingkaran berjarak sama dari pusat, semua jari-jari dalam satu lingkaran sama panjang. Jumlahnya tak terhingga: satu untuk setiap titik. Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat disebut diameter, d. Panjangnya sama dengan dua jari-jari yang disambung ujung ke ujung, jadi d = 2r dan r = d ÷ 2. Lingkaran dengan jari-jari 7 cm memiliki diameter 14 cm. Jangka menggambar tepat sesuai definisi ini. Jarumnya tetap di pusat, sedangkan pensilnya tetap berjarak satu jari-jari dari pusat.

Tali busur, busur, juring, dan tembereng

Tali busur adalah sembarang ruas garis yang kedua ujungnya terletak pada lingkaran. Diameter juga merupakan tali busur, yaitu yang melalui pusat. Diameter sekaligus merupakan tali busur terpanjang; dalam Buku III, Proposisi 15, Euclid membuktikan bahwa diameter adalah garis lurus terbesar dalam sebuah lingkaran. Dua titik pada lingkaran juga membagi garis lengkungnya menjadi dua bagian. Setiap bagian disebut busur. Bagian yang lebih pendek disebut busur kecil dan yang lebih panjang disebut busur besar. Jika kedua titik itu merupakan ujung diameter, kedua busurnya adalah setengah lingkaran. Busur dari A ke B ditulis AB dengan tanda lengkung kecil di atas kedua huruf.

Bagian-bagian ini membentuk dua jenis daerah. Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur di antaranya, berbentuk seperti sepotong piza. Sudut di antara kedua jari-jari disebut sudut pusat juring. Tembereng adalah daerah di antara tali busur dan busurnya. Potong roti bundar dengan satu potongan lurus, dan bagian yang terlepas merupakan tembereng. Jika garis potongnya berupa diameter, tembereng itu adalah setengah lingkaran. Setengah lingkaran juga merupakan juring dengan sudut pusat 180°.

Garis dengan satu atau dua titik pertemuan

Garis lurus dapat bertemu lingkaran di dua titik, di satu titik, atau sama sekali tidak bertemu. Garis yang melalui dua titik pada lingkaran disebut garis potong, dan bagian di dalam lingkaran merupakan tali busur. Garis yang bertemu lingkaran tepat di satu titik disebut garis singgung, dan titik pertemuannya disebut titik singgung. Menurut definisi Euclid, garis menyinggung lingkaran jika bertemu lingkaran dan, ketika diperpanjang ke kedua arah, tidak memotongnya. Roda sepeda di jalan datar memperlihatkan gagasan ini dengan jelas: jalan bertemu ban di satu titik dan tidak pernah masuk ke dalamnya. Unit 6 membuktikan bahwa jari-jari yang ditarik ke titik itu selalu tegak lurus terhadap garis singgung.

Mencari pusat dengan dua tali busur

Kembali ke lingkaran kertas, kali ini tanpa melipat. Gambar sembarang tali busur AB dan tandai titik tengahnya M. Melalui M, gambar garis yang tegak lurus terhadap AB, yaitu garis sumbu tali busur. Setiap titik pada garis itu berjarak sama dari A dan B. Pusat memenuhi sifat tersebut karena OA dan OB sama-sama jari-jari, sehingga pusat terletak di suatu tempat pada garis ini. Ulangi dengan tali busur kedua CD yang tidak sejajar dengan yang pertama. Pusat terletak pada kedua garis, dan dua garis yang tidak sejajar hanya berpotongan sekali. Titik potongnya adalah pusat. Euclid menyatakan fakta utama ini sebagai akibat dari Buku III, Proposisi 1: jika suatu garis lurus membagi tali busur menjadi dua bagian sama panjang dengan sudut siku-siku, pusat lingkaran terletak pada garis itu.