Cirkelonderdelen: straal, diameter, koorde, boog, sector en raaklijn

Teken twee willekeurige koorden op een rond bord. De lijnen die elke koorde loodrecht doormidden delen, snijden elkaar in precies één punt. Dat punt is het middelpunt.

Waar ligt het midden van een rond bord?

Stel dat je een papieren cirkel uit een tijdschrift knipt en een speld precies door het midden wilt steken. Een cirkel heeft geen hoeken vanwaar je kunt meten, dus aan alleen een liniaal heb je weinig. Vouwen helpt wel. Vouw het papier precies dubbel, zodat de twee helften elkaar bedekken. De vouw loopt dan recht door het middelpunt. Vouw het papier open en vouw het op een andere manier dubbel. De tweede vouw snijdt de eerste in het middelpunt. Euclides doet in zijn Elementen hetzelfde met rechte lijnen in plaats van vouwen. Het is de allereerste propositie van Boek III, het boek over cirkels: het middelpunt van een gegeven cirkel vinden.

Eén afstand tot één punt

Een cirkel is de verzameling van alle punten in een vlak die op dezelfde afstand van één vast punt liggen. Dat vaste punt is het middelpunt, meestal O genoemd. Een lijnstuk van het middelpunt naar een willekeurig punt op de cirkel is een straal. De lengte daarvan schrijven we als r. Omdat elk cirkelpunt even ver weg ligt, zijn alle stralen van één cirkel gelijk. Er zijn er oneindig veel: één voor elk punt. Een lijnstuk dat twee punten op de cirkel verbindt en door het middelpunt loopt, is een diameter, d. Het bestaat uit twee stralen achter elkaar, dus d = 2r en r = d ÷ 2. Een cirkel met een straal van 7 cm heeft een diameter van 14 cm. Een passer tekent precies volgens deze definitie: de punt blijft in het middelpunt en het potlood blijft op één straal afstand.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

Deze cirkel heeft zijn middelpunt in de oorsprong en een straal van 1. Sleep het punt naar een willekeurige plek op de cirkel. De coördinaten veranderen voortdurend, maar op de onderste regel van het paneel blijft cos² + sin², wat voor dit punt hetzelfde is als x² + y², gelijk aan 1. Die vergelijking is de afstandsregel in een andere vorm: het punt blijft altijd op afstand 1 van het middelpunt.

Koorden, bogen, sectoren en segmenten

Een koorde is een lijnstuk waarvan beide uiteinden op de cirkel liggen. Een diameter is ook een koorde, namelijk degene die door het middelpunt loopt. Het is bovendien de langste koorde. In Boek III, Propositie 15 bewijst Euclides dat de diameter de grootste rechte lijn in een cirkel is. Twee punten op een cirkel verdelen ook de kromme zelf in twee stukken. Elk stuk is een boog. Het kortere stuk heet de kleine boog en het langere de grote boog. Zijn de twee punten de uiteinden van een diameter, dan zijn beide bogen halve cirkels. Een boog van A naar B schrijf je als AB met een klein gebogen teken boven de letters.

Uit deze onderdelen ontstaan twee soorten gebieden. Een sector is het gebied dat wordt begrensd door twee stralen en de boog ertussen, zoals de vorm van een pizzapunt. De hoek tussen die twee stralen is de middelpuntshoek van de sector. Een cirkelsegment is het gebied tussen een koorde en de bijbehorende boog. Snijd een rond brood met één rechte snede door: het stuk dat eraf valt, is een cirkelsegment. Als de snede een diameter volgt, is het segment een halve cirkel. Een halve cirkel is ook een sector met een middelpuntshoek van 180°.

Lijnen die de cirkel in één of twee punten ontmoeten

Een rechte lijn kan een cirkel in twee punten ontmoeten, in één punt of helemaal niet. Een lijn door twee cirkelpunten is een snijlijn. Het gedeelte binnen de cirkel is een koorde. Een lijn die de cirkel in precies één punt ontmoet, is een raaklijn. Dat punt heet het raakpunt. Volgens Euclides raakt een lijn een cirkel als ze die ontmoet maar bij verlenging in beide richtingen niet doorsnijdt. Een fietswiel op een vlakke weg laat dit goed zien: de weg ontmoet de band op één punt en gaat nergens door de band heen. Hoofdstuk 6 bewijst dat de straal naar dat punt altijd loodrecht op de raaklijn staat.

Links: het middelpunt O, een blauwe straal r, de diameter AB (d = 2r) en een groene koorde CD. Rechts: een oranje sector, een blauwe boog, een groen segment tussen een koorde en haar boog, en een paarse raaklijn die de cirkel in T raakt, loodrecht op de gestippelde straal.

Het middelpunt vinden met twee koorden

Terug naar de papieren cirkel, maar nu zonder vouwen. Teken een willekeurige koorde AB en markeer het midden M. Trek door M een lijn loodrecht op AB: de middelloodlijn van de koorde. Elk punt op die lijn ligt even ver van A als van B. Het middelpunt is zo'n punt, want OA en OB zijn allebei stralen. Het middelpunt ligt dus ergens op die lijn. Herhaal dit met een tweede koorde CD die niet evenwijdig aan de eerste is. Het middelpunt ligt op beide lijnen en twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar maar één keer. Hun snijpunt is het middelpunt. Euclides formuleert de kern als gevolg van Boek III, Propositie 1: als een rechte lijn een koorde loodrecht in twee gelijke delen verdeelt, ligt het middelpunt van de cirkel op die lijn.

De twee koorden AB en CD hebben elk een gestippelde middelloodlijn. Dezelfde streepjes geven de gelijke helften aan. De twee middelloodlijnen snijden elkaar in het middelpunt O.

Dezelfde rechte hoek helpt ook bij het meten van koorden. Neem een cirkel met straal 5 cm en een koorde waarvan het midden M op 3 cm van het middelpunt ligt. Driehoek OMA heeft een rechte hoek bij M, OA = 5 en OM = 3, dus AM = 4 volgens de stelling van Pythagoras en de hele koorde is 8 cm. Hoe verder een koorde van het middelpunt ligt, hoe korter hij is; bij afstand 0 is het de diameter.

AchtergrondIn Boek I, Definitie 15 van de uitgave van D. E. Joyce omschrijft Euclides een cirkel als een vlakke figuur begrensd door één lijn, waarbij alle rechte lijnen vanuit één punt binnen de figuur naar die grens even lang zijn. Joyce wijst op twee verschillen met nu. Voor Euclides is de cirkel het vlakke gebied. De gebogen lijn eromheen is de omtrek, terwijl moderne boeken met cirkel meestal de kromme zelf bedoelen. Verder komt het Engelse woord centre van een Grieks woord dat ook prikstok of pook betekent. Dat verwijst naar het vaste, puntige been van de passer. Euclides had helemaal geen afzonderlijk woord voor straal. Hij schreef ‘de lijn vanuit het middelpunt’; radius is de kortere term van de vertaler.

Middelpunt	Het vaste punt; elk punt van de cirkel ligt even ver van dit punt
Straal r	Lijnstuk van middelpunt naar cirkel
Diameter d	Koorde door het middelpunt; d = 2r, de langste koorde
Koorde	Lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt
Boog	Deel van de cirkel tussen twee van zijn punten
Sector	Gebied tussen twee stralen en hun boog
Segment	Gebied tussen een koorde en haar boog
Raaklijn	Lijn die de cirkel in precies één punt ontmoet
Snijlijn	Lijn die de cirkel in twee punten ontmoet

Een cirkel heeft straal 7 cm. Hoe lang is de diameter?
Een cirkel heeft diameter 18 cm. Hoe lang is de straal?
Wat is de langste koorde?
- een diameter
- een straal
- een koorde bij de rand
- alle koorden zijn even lang
Hoeveel stralen heeft een cirkel?
- oneindig veel
- 2
- 4
- 360
Het gebied tussen een koorde en haar boog heet een:
- segment
- sector
- alleen een halve cirkel
- snijlijn
Een lijn met precies één gemeenschappelijk cirkelpunt heet:
- raaklijn
- snijlijn
- koorde
- diameter
Een cirkel heeft straal 5 cm. Het midden van een koorde ligt 3 cm van het middelpunt. Hoe lang is de koorde?
Een cirkel heeft straal 13 cm. Een koorde ligt 5 cm van het middelpunt. Hoe lang is de koorde?
Een koorde van 16 cm ligt in een cirkel met straal 10 cm. Hoe ver ligt hij van het middelpunt?
Is elke diameter een koorde?
- ja, de koorde door het middelpunt
- nee, koorden gaan nooit door het middelpunt
- alleen bij grote cirkels
- alleen wanneer dwars getekend
De middelloodlijn van elke koorde gaat door:
- het middelpunt van de cirkel
- een uiteinde van de koorde
- het raakpunt
- geen bijzonder punt

Veelgemaakte fouten

‘Een diameter is geen koorde; het zijn verschillende dingen.’ Een diameter is de bijzondere koorde die door het middelpunt gaat. Het is dus wel een koorde, en ook nog de langste.
‘Boog AB en koorde AB zijn even lang, want beide lopen van A naar B.’ De koorde is de rechte weg en de boog is de gebogen weg. Een recht lijnstuk is de kortste weg tussen twee punten, dus de boog is altijd langer.
‘Sector en segment zijn twee namen voor één vorm.’ Een sector heeft een hoekpunt in het middelpunt en twee rechte zijden; een segment heeft één rechte zijde, een koorde, en geen hoekpunt in het middelpunt. Alleen de halve cirkel is allebei.

Voor de docentIn het Koreaanse nationale curriculum van 2022 komen middelpunt, straal en diameter in de basisschoolleerjaren 3 tot 4 aan bod, samen met het tekenen van cirkels van verschillende grootte met een passer. De toelichting vraagt leraren de passermethode te verbinden met de eigenschappen van de cirkel. Koorde, boog, sector, cirkelsegment, snijlijn, raaklijn en raakpunt staan op de begrippenlijst voor de middelbareschoolleerjaren 1 tot 3. Boog en koorde zorgen het vaakst voor verwarring, omdat beide van A naar B lopen. Laat leerlingen een draad langs een boog en een liniaal langs de koorde leggen en de twee lengten vergelijken.

Belangrijkste punten

Een cirkel is de verzameling van alle punten op afstand r van het middelpunt O. Elke straal heeft lengte r en d = 2r.
Een koorde verbindt twee punten van de cirkel; de diameter is de langste koorde.
Boog: een stuk van de cirkel. Sector: begrensd door twee stralen en een boog. Segment: begrensd door een koorde en een boog.
Een snijlijn ontmoet de cirkel tweemaal, een raaklijn eenmaal. De middelloodlijn van elke koorde gaat door het middelpunt.

Bronnen van deze cursus (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Geraadpleegd: 2026-10-19