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Start›Geometrie und Zeichnungen›Kreise

Kreisfläche: warum πr²?

Eine Pizza von 30 cm ist 1.5-mal so breit wie eine von 20 cm, bietet aber 2.25-mal so viel zu essen.

Die Vermutung „anderthalbmal so viel“

Eine Pizzeria verkauft eine Pizza mit 20 cm und eine mit 30 cm Durchmesser. Die größere ist 1.5-mal so breit, und die meisten Menschen schätzen, dass sie etwa 1.5-mal so viel Essen bietet. Rechne es stattdessen aus. Die Pizza mit 20 cm Durchmesser hat einen Radius von 10 cm und eine Fläche von π × 10² ≈ 314 cm². Die Pizza mit 30 cm Durchmesser hat einen Radius von 15 cm und eine Fläche von π × 15² ≈ 707 cm². Das Verhältnis beträgt 225 ÷ 100 = 2.25. Die Schätzung stimmt nicht, weil die Fläche gleichzeitig in zwei Richtungen wächst: Vergrößerst du jede Länge um den Faktor 1.5, wächst die Fläche um den Faktor 1.5 × 1.5. Bevor du der Formel A = πr² vertraust, die diese Zahlen geliefert hat, lohnt es sich zu sehen, woher sie kommt.

Den Kreis in Stücke schneiden und umlegen

Schneide einen Kreis wie eine Pizza in 8 gleich große Sektoren. Lege sie nebeneinander, abwechselnd mit der Spitze nach oben und nach unten. Das Ergebnis sieht aus wie ein welliges Parallelogramm. Seine Höhe ist ungefähr r, der Radius. Oben verlaufen die Bögen von vier Sektoren und unten die Bögen der anderen vier, also ist jede wellige Kante der halbe Umfang, πr. Schneide nun stattdessen 24 Sektoren. Die Wellen werden kleiner, die schrägen Enden steiler, und die Form kommt einem Rechteck mit der Breite πr und der Höhe r näher. Mit immer mehr Sektoren kommt die Form diesem Rechteck beliebig nahe, also ist die Fläche des Kreises πr × r = πr².

Links: ein Kreis, in 8 Sektoren geschnitten, die obere Hälfte blau und die untere Hälfte orange. Rechts: dieselben Sektoren abwechselnd nebeneinandergelegt, zuerst 8, dann 24. Die Form nähert sich einem Rechteck mit der Höhe r und der Breite πr, dem halben Umfang.

Überprüfe das Ergebnis mithilfe von Quadraten. Ein um einen Kreis mit Radius r gezeichnetes Quadrat hat die Seitenlänge 2r und die Fläche 4r². Ein im Kreis gezeichnetes Quadrat, dessen Ecken auf der Kreislinie liegen, hat Diagonalen der Länge 2r und die Fläche 2r². Der Kreis liegt zwischen den beiden, also muss seine Fläche zwischen 2r² und 4r² liegen, und πr² ≈ 3.14r² passt dazu. Regelmäßige Vielecke im Kreis verkleinern die Lücke genauso wie beim Umfang in Einheit 2: Ein einbeschriebenes regelmäßiges 16-Eck bedeckt etwa 3.0615r², ein 64-Eck etwa 3.1365r².

Die meisten Fehler passieren beim Einsetzen

Die Formel ist kurz, Fehler passieren davor. Beim Durchmesser erst halbieren: 8 cm quer ergibt r = 4 und Fläche 16π ≈ 50.24 cm². Beim Umfang erst mit C = 2πr den Radius finden: C = 31.4 cm ergibt r = 5 cm und Fläche 25π ≈ 78.5 cm². Flächen haben Quadrateinheiten, cm² oder m². Weil r quadriert wird, ergibt doppelter Radius 4-fache, dreifacher Radius 9-fache Fläche.

Figuren aus Rechtecken und Halbkreisen berechnest du auf dieselbe Weise Stück für Stück. OpenStax beschreibt eine Laufbahn, die die Form eines Rechtecks von 105 m Länge und 68 m Breite mit einem Halbkreis an jedem Ende hat. Die beiden Halbkreise haben den Durchmesser 68 m und bilden zusammen einen ganzen Kreis mit dem Radius 34 m. Die eingeschlossene Fläche ist 105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10 771.68 m². Ein Ring zwischen zwei Kreisen ist der große Kreis minus der kleine: Zwischen den Radien 5 cm und 3 cm bedeckt der Ring π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm².

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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

Archimedes zeigte: Die Kugeloberfläche ist viermal die Fläche eines Großkreises, also eines Schnitts durch die Mitte. Im Bedienfeld steht 4πr². Bei r = 3 cm sind das etwa 113.1 cm², viermal π × 3² ≈ 28.27 cm². Drücke Archimedes-Zylinder, um den genau passenden äußeren Zylinder zu sehen.
HintergrundEine ältere Antwort ist aus Ägypten überliefert. Die Pi-Geschichte von MacTutor hält fest, dass der Papyrus Rhind, auf etwa 1650 v. Chr. datiert, gute Belege für den Wert 4 × (8/9)² ≈ 3.16 liefert. Diese Zahl erhält man, wenn man einen Kreis durch ein Quadrat ersetzt, dessen Seite 8/9 des Durchmessers beträgt. Bei einem Kreis mit dem Durchmesser 9 hat das Quadrat die Seite 8 und die Fläche 64, während die wahre Fläche des Kreises π × 4.5² ≈ 63.6 beträgt. Das Quadrat ist weniger als 1% zu groß, ein sehr gutes Ergebnis für eine Regel, die überhaupt kein π braucht.

A = πr² = (halber Umfang) × r. Doppeltes r ergibt 4-mal so viel Fläche.

  1. Finde die Fläche eines Kreises mit dem Radius 10 cm (verwende 3.14 für π).
  2. Finde die Kreisfläche bei Durchmesser 8 cm (π = 3.14).
  3. Wie vielmal so groß ist die Fläche einer Pizza von 30 cm gegenüber einer von 20 cm?
  4. Du verdoppelst den Radius. Die Fläche wird:
    • 4-mal so groß
    • 2-mal so groß
    • 8-mal so groß
    • π-mal so groß
  5. Ein Kreis hat Umfang 31.4 cm. Finde seine Fläche (π = 3.14).
  6. Finde die Fläche eines Halbkreises mit Radius 6 cm (π = 3.14).
  7. Ein Ring liegt zwischen konzentrischen Kreisen mit Radien 5 cm und 3 cm. Finde seine Fläche (π = 3.14).
  8. Ein Kreis hat Fläche 28.26 cm². Finde den Radius (π = 3.14).
  9. Beim abwechselnden Umlegen der Sektoren ist die lange Rechteckseite ungefähr:
    • der halbe Umfang
    • der ganze Umfang
    • der Durchmesser
    • der Radius
  10. Die Kreisfläche bei Radius r liegt zwischen:
    • 2r² und 4r²
    • r² und 2r²
    • 4r² und 8r²
    • 2r und 4r
  11. Eine Bahn besteht aus einem Rechteck 105 m mal 68 m und Halbkreisen an den 68-m-Enden. Finde die Fläche auf ganze Quadratmeter gerundet (π-Taste).
Häufige Fehler
  • „Kreisfläche = 2πr.“ Das ist der Umfang, eine Länge in cm. Fläche braucht r zweimal und hat Einheit cm². Bei r = 10 ist der Umfang etwa 62.8 cm, die Fläche etwa 314 cm².
  • „Mit dem Durchmesser gilt Fläche = π × d².“ d statt r macht das Ergebnis 4-mal zu groß, weil d² = 4r². Halbiere zuerst den Durchmesser.
  • „1.5-mal so breit heißt 1.5-mal so viel Fläche.“ Fläche wächst mit dem Quadrat des Längenfaktors: 1.5² = 2.25. Das gilt für alle Formen, nicht nur Kreise.
Hinweis für LehrkräfteDer koreanische nationale Lehrplan von 2022 ordnet die Kreisfläche der Grundschule, den Klassen 5 bis 6, zu. Die Hinweise zu diesem Standard sagen, dass Lernende verstehen sollen, wie man die Kreisfläche mithilfe der Methode für die Rechteckfläche bestimmt. Genau das leistet das Umlegen der Sektoren auf dieser Seite. Lernende akzeptieren meist das Bild mit 8 Stücken, zweifeln aber am Schritt zu „genau einem Rechteck“. Lass sie Papierkreise in 8 und dann in 16 Stücke schneiden und die Ränder vergleichen. Die Wellen werden sichtbar flacher, und die Frage lautet nun, wie weit sich das Verfahren fortsetzen lässt. Das ist die richtige Frage.
Das Wichtigste
  • A = πr². Mit 3.14: r × r × 3.14.
  • Abwechselnd umgelegte Kreissektoren ergeben annähernd ein Rechteck mit Breite πr und Höhe r.
  • Durchmesser gegeben: erst halbieren. Umfang gegeben: erst r finden.
  • Doppeltes r multipliziert die Fläche mit 4.
Quellen zu diesem Kurs (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Abgerufen: 2026-10-19