円の面積はなぜπr²？

直径30 cmのピザは20 cmの1.5倍の幅ですが、食べる量は2.25倍です。

「一・五倍」という予想

ピザ店で、直径20 cmと30 cmのピザを売っています。大きいほうは幅が1.5倍なので、食べる量も約1.5倍だろうと考える人が多いでしょう。そこで、実際に計算してみます。20 cmのピザは半径10 cmで、面積はπ × 10² ≈ 314 cm²です。30 cmのピザは半径15 cmで、面積はπ × 15² ≈ 707 cm²です。比は225 ÷ 100 = 2.25です。予想が外れるのは、面積が二方向に同時に増えるからです。すべての長さを1.5倍に伸ばすと、面積は1.5 × 1.5倍になります。これらの数を出したA = πr²という公式を信じる前に、その由来を見ておきましょう。

円を切って並べ替える

ピザを切るように、円を8つの等しい扇形に切り分けます。頂点を上向きと下向きに交互にして、横に並べます。できた形は、縁がでこぼこした平行四辺形に見えます。高さはおよそ半径rです。上側には4つの扇形の弧が、下側には残りの4つの弧が並ぶので、それぞれの波打つ辺は円周の半分、πrになります。今度は24個の扇形に切り分けます。でこぼこは小さくなり、斜めの両端はより急になって、幅πr、高さrの長方形に近づきます。扇形をさらに細かく増やせば、その長方形にいくらでも近づけられます。したがって、円の面積はπr × r = πr²です。

左は円を8つの扇形に切り分けたもので、上半分が青、下半分がオレンジです。右は同じ扇形を交互に並べた形で、まず8個、次に24個を示しています。形は、高さr、幅が円周の半分のπrである長方形に近づきます。

正方形と比べて答えを確かめましょう。半径rの円を囲む正方形は、1辺が2r、面積が4r²です。円の内側に頂点が円上にくるように描いた正方形は、対角線の長さが2r、面積が2r²です。円はこの2つの間にあるので、その面積も2r²と4r²の間にあるはずです。πr² ≈ 3.14r²はこの条件に合います。単元2で円周について行ったのと同じように、円の内側の正多角形で隙間を狭められます。内接する正16角形の面積は約3.0615r²、正64角形では約3.1365r²です。

誤りは入力値から

公式は短いので、間違いはその前で起こります。直径が与えられたら、まず半分にします。直径8 cmの円ならr = 4で、面積は16π ≈ 50.24 cm²です。円周が与えられたら、まずC = 2πrからrを求めます。C = 31.4 cmならr = 5 cmで、面積は25π ≈ 78.5 cm²です。面積の単位は平方単位で、cm²やm²を使います。また、rを2乗するので、半径を2倍にすると面積は4倍、3倍にすると9倍になります。

長方形と半円でできた図形も、同じように部分ごとに考えます。OpenStaxは、長さ105 m、幅68 mの長方形の両端に半円を付けた形の陸上トラックを例に挙げています。二つの半円は直径68 mで、合わせると半径34 mの円一つになります。囲まれた面積は105 × 68 + π × 34² = 7140 + 3631.68… ≈ 10,771.68 m²です。二つの円の間の円環の面積は、大きい円から小さい円を引いて求めます。半径5 cmと3 cmの間の円環の面積は、π(25 − 9) = 16π ≈ 50.24 cm²です。

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アルキメデスは、球の表面積が大円の面積の四倍であることを示しました。大円とは、球を中心を通る平面で切ったときにできる円です。パネルは球の表面積を4πr²と示します。r = 3 cmなら約113.1 cm²で、π × 3² ≈ 28.27 cm²の四倍です。「アルキメデスの円柱」を押すと、球がちょうど収まる円柱が表示されます。

背景もっと古い答えがエジプトに残っています。MacTutorのπの歴史によると、紀元前1650年ごろのリンド・パピルスには、値4 × (8/9)² ≈ 3.16を裏付けるよい証拠があります。これは、円を、1辺が直径の8/9の正方形に置き換えたときに得られる数です。直径9の円では、正方形の1辺は8、面積は64で、円の本当の面積はπ × 4.5² ≈ 63.6です。正方形は1%未満しか大きくなく、πをまったく必要としない規則としては、とてもよい結果です。

A = πr² =（円周の半分）× r。rを二倍にすると、面積は4倍になります。

半径10 cmの円の面積を求めましょう（πは3.14を使います）。
直径8 cmの円の面積を求めましょう（πは3.14を使います）。
30 cmのピザの面積は、20 cmのピザの何倍ですか？
円の半径を二倍にすると、面積は何倍になりますか？
- 4倍
- 2倍
- 8倍
- π倍
円周が31.4 cmの円があります。面積を求めましょう（πは3.14を使います）。
半径6 cmの半円の面積を求めましょう（πは3.14を使います）。
中心が同じで半径が5 cmと3 cmの二つの円の間に、円環があります。その面積を求めましょう（πは3.14を使います）。
面積が28.26 cm²の円があります。半径を求めましょう（πは3.14を使います）。
扇形を交互に並べてできるほぼ長方形の、長いほうの辺は？
- 円周の半分
- 円周全部
- 直径
- 半径
半径rの円の面積は、次のどの範囲にありますか？
- 2r²と4r²
- r²と2r²
- 4r²と8r²
- 2rと4r
トラックは105 m×68 mの長方形で、68 mの両端に半円が付いています。囲まれた面積を、平方メートル単位で四捨五入して求めましょう（πキーを使います）。

よくある間違い

「円の面積 = 2πrです」 それは円周で、cmで表す長さです。面積にはrが二回必要で、単位はcm²です。r = 10なら、円周は約62.8 cm、面積は約314 cm²です。
「直径から面積 = π × d²です」 rの代わりにdを使うと、d² = 4r²なので、答えが4倍大きくなってしまいます。まず直径を半分にしましょう。
「幅1.5倍なら面積も1.5倍です」 面積は長さの倍率の二乗で変わり、1.5² = 2.25です。この規則は円だけでなく、どんな形にも成り立ちます。

先生からひとこと韓国の2022年改訂教育課程では、円の面積は小学校5～6年の内容です。この学習基準の注記には、長方形の面積を求める方法を使って、円の面積の求め方を理解するよう記されています。それが、このページの扇形の並べ替えです。学習者は8切れの図には納得しても、「正確に長方形になる」という段階には疑問を持ちがちです。紙の円を8切れ、次に16切れにして、縁を比べさせましょう。でこぼこが平らになっていくのが見えます。すると、この操作をどこまで続けられるのかという、考えるべき問いに進めます。

ポイント

A = πr²です。3.14を使うなら、r × r × 3.14です。
円を扇形に切って交互に並べると、幅πr、高さrのほぼ長方形になります。
直径が与えられたら、まず半分にします。円周が与えられたら、まずrを求めます。
rを二倍にすると、面積は4倍になります。

このコースの出典 (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

確認日: 2026-10-19