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원

원을 여섯 단원으로 배웁니다. 원의 중심, 반지름, 지름과 현, 호, 부채꼴, 접선이 무엇인지 정하고 원의 중심을 찾는 방법부터 시작합니다. 이어서 원주율과 원주를 재고 아르키메데스가 다각형으로 원주율을 가둔 방법을 따라가며, 원을 부채꼴로 잘라 원의 넓이 공식을 만듭니다. 중학교 내용으로 부채꼴의 호의 길이와 넓이, 중심각과 원주각의 관계, 접선과 반지름이 이루는 직각과 접선의 길이를 다룹니다. 원 위의 점을 끌고, 원기둥과 원뿔을 펼치고, 원그래프 조각을 눌러 보며 숫자를 직접 확인합니다.

진도

이 과정에 대하여

원에 대한 유클리드의 정의는 D. E. 조이스 판의 1권 정의 15로, 한 선으로 둘러싸인 평면 도형이며 그 안의 한 점에서 선까지 그은 모든 직선이 같다고 말합니다. 조이스의 주석은 오늘날과의 차이 두 가지를 짚습니다. 유클리드에게 원은 평평한 영역이고 휘어진 선은 둘레(circumference)입니다. 또 유클리드에게는 반지름이라는 별도의 낱말이 아예 없었습니다. 그는 「중심에서 그은 선」이라고 썼습니다. 영어 centre는 찌르는 막대나 부지깽이를 뜻하기도 하는 그리스어에서 왔으며, 컴퍼스의 고정된 뾰족한 다리를 가리킨 말입니다.

여섯 단원은 원의 각 부분으로 시작하는데, 접시 위 두 현의 수직 이등분선은 중심이라는 한 점에서만 만납니다. 이어서 원주율과 원둘레에서는 아르키메데스가 원주율을 3 10/71과 3 1/7 사이에 가두었습니다. MacTutor에 따르면 윌리엄 존스가 1706년 π를 지금의 뜻으로 처음 썼고, 조충지(430~501)는 소수 여섯째 자리까지 맞는 355/113을 제시했습니다. 원의 넓이 단원은 지름 30 cm 피자와 20 cm 피자를 비교합니다. 폭은 1.5배인데 먹을 양은 2.25배입니다. 호의 길이와 부채꼴 넓이는 길이 10 cm 분침이 20분에 120°를 쓸고 지나가는 예를 씁니다. 중심각과 원주각 단원에는 반원에 대한 원주각이 90°라는 유클리드 3권 명제 31이 나옵니다. 마지막 단원은 반지름 5 cm인 원의 중심에서 13 cm 떨어진 점에서 그은 두 접선의 길이가 정확히 12 cm임을 보여 줍니다. 실험실에서는 원 위의 점을 끌고, 원기둥을 펼치고, 원뿔을 펼치고, 원그래프의 조각을 눌러 볼 수 있습니다.

시작하기 전에

한 바퀴에서 차지하는 비율에 익숙하면 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구하는 데 도움이 됩니다. 중심각, 원주각, 접선의 성질은 각을 복습하면 이해하기 쉽습니다. 첫 단원에서 원의 각 부분을 확인한 뒤 반지름, 지름, 현, 접선을 구별하며 공식을 사용합니다.

마치고 나면

현을 이용해 원의 중심을 찾고 반지름과 지름을 구별하며 둘레와 넓이를 계산할 수 있습니다. 360°에 대한 비율로 호의 길이와 부채꼴의 넓이를 구하고 중심각과 원주각의 관계를 적용합니다. 반원에 대한 원주각이 직각임을 알아보고 같은 외부 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질도 사용합니다.

  1. 1원의 구성 요소: 반지름, 지름, 현, 호, 부채꼴, 접선둥근 접시 위에 현을 아무렇게나 두 개 긋고, 각 현을 수직으로 이등분하는 직선을 그어 보세요. 두 직선은 딱 한 점에서 만나고, 그 점이 원의 중심입니다.
  2. 2원주율과 원주둥근 물건을 실로 한 바퀴 감으면 실의 길이는 언제나 지름의 3배보다 조금 깁니다. 아르키메데스는 그 「조금」을 3 10/71과 3 1/7 사이로 좁혔습니다.
  3. 3원의 넓이는 왜 πr²일까지름 30 cm 피자는 지름 20 cm 피자보다 폭이 1.5배이지만, 먹을 수 있는 넓이는 2.25배입니다.
  4. 4부채꼴의 호의 길이와 넓이길이 10 cm인 분침의 끝은 20분 동안 120°, 시계판의 3분의 1을 돌면서 약 20.9 cm를 움직입니다.
  5. 5중심각과 원주각원 위의 한 점을 지름의 양 끝과 이으면 그 점에 생기는 각은 언제나 90°입니다. 유클리드 『원론』 제3권 명제 31입니다.
  6. 6원의 접선: 접점에서의 직각과 접선의 길이반지름이 5 cm인 원의 중심에서 13 cm 떨어진 점에서 원에 그은 두 접선은 길이가 똑같이 12 cm입니다.

관련 과정

  • 각
    각을 다섯 단원으로 배웁니다. 각도기로 각을 재고, 각의 종류를 구별하고, 더해서 90°와 180°가 되는 각의 짝을 익히고, 한 직선이 평행선 두 개를 가로지를 때 생기는 여덟 각을 읽고, 삼각형과 다각형의 내각의 합을 구합니다. 각 페이지의 삼각비 실험실에는 각도기, 평행선 한 쌍, 꼭짓점을 끌어 움직일 수 있는 삼각형이 있습니다.
  • 삼각형
    삼각형을 일곱 단원으로 배웁니다. 변과 각으로 삼각형을 나누고, 내각의 합 180°와 외각의 성질을 증명하고, 세 길이로 삼각형을 만들 수 있는지 판단합니다. 이어서 삼각형의 합동 조건과 두 변과 한 각이 같아도 합동이 아닐 수 있는 경우, 닮음과 닮음비, 피타고라스 정리의 두 가지 증명과 그 역, 밑변과 높이 또는 세 변만으로 넓이를 구하는 헤론의 공식까지 다룹니다. 삼각비 실험실에서 꼭짓점을 끌면 각과 이름이 바로 바뀝니다.
  • 입체의 겉넓이와 부피
    과자 상자, 통조림 캔, 아이스크림콘, 공에는 겉을 싸는 종이의 넓이와 안에 담기는 양을 구하는 공식이 하나씩 있습니다. 입체를 3D로 펼쳐 보고, 슬라이더로 크기를 바꾸며 숫자가 어떻게 따라 변하는지 확인합니다.
  • 삼각비
    직각삼각형과 단위원의 삼각비를 여섯 단원으로 배웁니다. 직각삼각형의 변에 이름을 붙이고, 사인·코사인·탄젠트를 변의 비로 정의하고, 30°·45°·60°의 정확한 값을 익히고, 변 하나와 각 하나로 삼각형을 풀고, 손이 닿지 않는 높이를 재고, 라디안과 단위원으로 넘어가 사인 그래프를 그립니다. 삼각비 실험실에는 크기를 바꿀 수 있는 직각삼각형, 높이 재기 마당, 그래프와 함께 움직이는 단위원이 있습니다.
이 과정의 출처 (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

확인한 날: 2026-10-19