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Accueil›Géométrie et dessins

Cercles

Six unités sur les cercles : éléments et recherche du centre, pi et circonférence avec l'encadrement par les polygones d'Archimède, aire du disque par réorganisation de secteurs, longueur d'arc et aire de secteur comme fractions de 360°, angles au centre et inscrits avec l'angle dans un demi-cercle, puis tangentes, rayon perpendiculaire et tangentes issues d'un même point de même longueur. Déplace un point sur un cercle, déroule un cylindre, déplie un cône et clique sur les secteurs d'un diagramme circulaire.

Progression

À propos de ce cours

La définition du cercle donnée par Euclide, définition 15 du livre I dans l'édition de D. E. Joyce, décrit une figure plane délimitée par une ligne telle que toutes les lignes droites menées d'un point intérieur jusqu'à elle soient égales. Les notes de Joyce soulignent deux différences avec l'usage actuel. Pour Euclide, le cercle est la région plane, et la ligne courbe est la circonférence. De plus, Euclide n'avait aucun mot distinct pour le rayon : il écrivait « la ligne issue du centre ». Le mot anglais centre vient d'un mot grec qui signifie aussi pointe ou tisonnier, en référence à la branche fixe et pointue du compas.

Les six unités commencent par les parties d'un cercle : deux cordes tracées sur une assiette ont des médiatrices qui se coupent en un point unique, le centre. Viennent ensuite pi et la circonférence, avec Archimède qui encadre pi entre 3 10/71 et 3 1/7. MacTutor indique que William Jones fut le premier à utiliser π dans son sens actuel, en 1706, et que Zu Chongzhi (430 à 501) donna 355/113, exact à six décimales. L'aire du disque compare une pizza de 30 cm à une de 20 cm : elle est 1.5 fois plus large et offre 2.25 fois plus à manger. La longueur d'arc et l'aire d'un secteur utilisent une grande aiguille de 10 cm qui balaie 120° en 20 minutes. Les angles au centre et inscrits comprennent la proposition 31 du livre III d'Euclide : l'angle inscrit dans un demi-cercle mesure 90°. La dernière unité montre que, depuis un point situé à 13 cm du centre d'un cercle de rayon 5 cm, les deux tangentes mesurent exactement 12 cm. Dans les laboratoires, tu déplaces un point sur un cercle, déroules un cylindre, déplies un cône et cliques sur les secteurs d'un diagramme circulaire.

Avant de commencer

Les fractions d’un tour complet aident à calculer longueurs d’arcs et aires de secteurs. Angles aide aussi pour les raisonnements sur les angles au centre, inscrits et les tangentes. La première leçon nomme les parties du cercle pour distinguer rayon, diamètre, corde et tangente avant les formules.

À la fin du cours

Tu pourras trouver le centre d’un cercle à partir de cordes, distinguer rayon et diamètre et calculer circonférence et aire. Tu sauras utiliser une fraction de 360° pour un arc ou un secteur, relier angles au centre et inscrits, reconnaître l’angle droit dans un demi-cercle et utiliser l’égalité des tangentes issues d’un même point extérieur.

  1. 1Éléments du cercle : rayon, diamètre, corde, arc, secteur et tangenteTrace deux cordes sur une assiette ronde. Les droites perpendiculaires qui partagent chaque corde en deux se coupent en un seul point : le centre.
  2. 2Pi et la circonférenceEnroule une ficelle autour d'un objet rond : elle mesure un peu plus de trois diamètres. Archimède a placé ce « un peu plus » entre 3 10/71 et 3 1/7.
  3. 3Aire du disque : pourquoi πr²Une pizza de 30 cm de diamètre est 1.5 fois aussi large qu'une de 20 cm, mais contient 2.25 fois autant à manger.
  4. 4Longueur d'arc et aire de secteurEn 20 minutes, la pointe d'une aiguille des minutes de 10 cm balaie 120°, un tiers du cadran, et parcourt environ 20.9 cm.
  5. 5Angles au centre et inscritsRelie un point du cercle aux extrémités d'un diamètre : l'angle en ce point fait exactement 90°. Euclide le démontre en III, proposition 31.
  6. 6Tangentes : l'angle droit au point de contact et les longueurs de tangentes égalesDepuis un point à 13 cm du centre d'un cercle de rayon 5 cm, les deux tangentes mesurent exactement 12 cm.

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Sources de ce cours (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consulté le: 2026-10-19