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Accueil›Géométrie et dessins›Cercles

Longueur d'arc et aire de secteur

En 20 minutes, la pointe d'une aiguille des minutes de 10 cm balaie 120°, un tiers du cadran, et parcourt environ 20.9 cm.

Essaie d'abord : la pointe de l'aiguille des minutes

Une horloge a une aiguille des minutes de 10 cm. Quelle distance parcourt sa pointe entre 3 h 00 et 3 h 20 ? Essaie avant de lire : les unités précédentes suffisent.

  1. Une aiguille des minutes mesure 10 cm. Quelle distance parcourt sa pointe en 20 minutes ? (prends 3.14 pour π, deux décimales)

Deux faits suffisent. La grande aiguille fait tout le tour, 360°, en 60 minutes ; elle tourne donc de 6° par minute et de 120° en 20 minutes. Un tour complet ferait parcourir à sa pointe un cercle de rayon 10 cm, soit une distance de 2π × 10 ≈ 62.8 cm. Vingt minutes représentent 120 degrés sur 360, un tiers de tour ; la pointe parcourt donc un tiers de cette distance, environ 20.9 cm. Le trajet de la pointe est un arc, et la région balayée par l'aiguille est un secteur d'angle au centre de 120°.

L'arc et l'aire représentent la même fraction du cercle

Le raisonnement de l'horloge vaut pour n'importe quel secteur. Un secteur d'angle au centre θ occupe θ/360 d'un tour complet, donc son arc vaut θ/360 de la circonférence : longueur d'arc ℓ = 2πr × θ/360. La même fraction s'applique à l'aire, puisque le secteur représente θ/360 du disque entier : aire du secteur S = πr² × θ/360. Dans un cercle de rayon 6 cm, un secteur de 60° est un sixième du cercle. Son arc mesure 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 cm et son aire vaut π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 cm². Dans l'autre sens, un arc de 5π cm dans un cercle de rayon 10 cm représente 5π ÷ 20π = 1/4 de la circonférence, donc son angle au centre est de 90°.

Arcs et aires de secteurs sont proportionnels à l'angle au centre : double l'angle, les deux doublent. Les cordes, non. Avec rayon 10, 60° donne une corde de 10, car le triangle des deux rayons est équilatéral. Avec 120°, la corde vaut environ 17.3, pas 20. L'arc double bien d'environ 10.5 à 20.9. La corde traverse le virage ; plus l'angle est grand, plus elle raccourcit le trajet. Des angles égaux donnent toutefois des cordes égales : Euclide démontre en III, proposition 28 que des cordes égales découpent des arcs égaux dans des cercles égaux.

À gauche : secteur d'angle θ, rayon r et arc ℓ. À droite : avec rayon 10, l'angle orange de 60° donne corde 10 et arc d'environ 10.5 ; le bleu de 120° donne le double d'arc, environ 20.9, mais une corde d'environ 17.3 seulement.

Une aire de secteur sans connaître l'angle

Multiplie la longueur de l'arc par la moitié du rayon et regarde ce qui sort : ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. C'est encore l'aire du secteur, donc S = ½rℓ. Cela ressemble à la formule du triangle, la moitié de la base fois la hauteur, et pour une bonne raison : un secteur étroit est presque un triangle dont la base est l'arc et dont la hauteur est le rayon. Un secteur de rayon 8 cm avec un arc de 10 cm a une aire de ½ × 8 × 10 = 40 cm², et tu n'as jamais eu besoin de l'angle. C'est la formule qui se cache derrière la face courbe d'un cône.

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Un cône de r = 3 cm et h = 4 cm a une génératrice l de 5 cm. Appuie sur Déplier : sa surface latérale devient un secteur de rayon 5 cm. L'arc entourait la base : il mesure 2π × 3 cm, et l'angle vaut 360° × 3/5 = 216°. L'aire latérale vaut ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 cm², le πrl du panneau.

Tout diagramme circulaire est fait de secteurs

Un diagramme circulaire partage un disque en secteurs dont les angles sont des parts de 360°. Une catégorie de 25 % reçoit un angle de 0.25 × 360° = 90°. Ici, 16 élèves sur 50 ont acheté 3 livres : 16 ÷ 50 = 32 %, et 0.32 × 360° = 115.2°. L'aire étant proportionnelle à l'angle, sa part du disque est la même que celle de l'effectif total.

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Clique sur un secteur. Le panneau affiche sa part en pourcentage et son angle en degrés. Les six angles font 360°.
Un segment circulaire, entre corde et arc, est un secteur moins un triangle. Avec rayon 10 cm, celui de 90° a une aire de 25π − 50 ≈ 28.54 cm² : le quart de disque moins le triangle rectangle de côtés de l'angle droit 10 et 10.

Arc ℓ = 2πr × θ/360. Aire S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Rayon 6 cm, angle au centre 60°. Trouve la longueur d'arc (prends 3.14 pour π).
  2. Rayon 6 cm, angle au centre 60°. Trouve l'aire du secteur (prends 3.14 pour π).
  3. Un cercle a un rayon de 10 cm. Un arc mesure 5π cm. Quel est son angle au centre ?
  4. Un secteur a un rayon de 8 cm et un arc de 10 cm. Trouve son aire.
  5. Une catégorie d'un diagramme circulaire représente 25 % du total. Quel est son angle ?
  6. Un secteur de diagramme a un angle de 72°. Quelle fraction du total représente-t-il ?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. Un cône a un rayon de base de 3 cm et une génératrice de 5 cm. Sa surface dépliée est un secteur. Quel est son angle au centre ?
  8. Tu doubles un angle au centre. Quelles quantités doublent ?
    • l'arc et l'aire du secteur
    • l'arc, l'aire et la corde
    • seulement la corde
    • aucune
  9. Une pizza de 30 cm est coupée en 8 parts égales. Quelle longueur de croûte a une part ? (prends 3.14 pour π)
  10. Trouve l'aire du segment circulaire découpé par un angle au centre de 90° dans un disque de rayon 10 cm (prends 3.14 pour π).
  11. De combien de degrés l'aiguille des minutes tourne-t-elle en 15 minutes ?
Erreurs fréquentes
  • « Longueur d'arc = πr² × θ/360. » C'est la formule de l'aire. La longueur d'arc vient de la circonférence 2πr et se mesure en cm ; l'aire vient de πr² et se mesure en cm².
  • « Double l'angle au centre, double la corde. » Seuls arcs et aires sont proportionnels à l'angle. Avec rayon 10, les cordes pour 60° et 120° valent 10 et environ 17.3.
  • « Un secteur de 45° dans un cercle de diamètre 8 a pour arc 2π × 8 × 45/360. » La formule utilise le rayon. Avec r = 4, l'arc vaut 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, la moitié du mauvais résultat.
Note du professeurDans le programme national coréen de 2022, un objectif du collège, de la 1re à la 3e année, demande aux élèves de comprendre la relation entre l'angle au centre et l'arc d'un secteur et de s'en servir pour trouver la longueur d'arc et l'aire. Le programme précise aussi que les figures composées compliquées ne sont pas traitées : limite les exercices aux secteurs, aux segments circulaires et aux combinaisons simples. Le blocage habituel est de mémoriser les deux formules comme des faits séparés. Pars d'un cadran d'horloge ou d'une pizza et demande « quelle fraction du cercle est-ce ? ». Les élèves qui disent « un tiers » avant d'écrire quoi que ce soit confondent rarement les formules ensuite.
L'essentiel
  • Un secteur d'angle au centre θ représente θ/360 du disque.
  • Arc ℓ = 2πr × θ/360. Aire S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • Arc et aire sont proportionnels à l'angle au centre ; pas la longueur de corde.
  • Diagrammes circulaires : angle = proportion × 360°. Segment circulaire = secteur − triangle.
Sources de ce cours (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Consulté le: 2026-10-19