edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Окружности и круги

Длина дуги и площадь сектора

За 20 минут конец минутной стрелки длиной 10 см описывает дугу в 120°, то есть треть циферблата, и проходит около 20.9 см.

Сначала попробуй: конец минутной стрелки

У настенных часов минутная стрелка длиной 10 см. Какое расстояние проходит её конец между 3:00 и 3:20? Попробуй решить, прежде чем читать дальше. Тебе достаточно материала предыдущих уроков.

  1. Длина минутной стрелки 10 см. Какой путь проходит её конец за 20 минут? (возьми π = 3.14, округли до двух знаков после точки)

Задачу решают два факта. Минутная стрелка совершает полный оборот, 360°, за 60 минут, значит, поворачивается на 6° за минуту и на 120° за 20 минут. За полный оборот её конец прошёл бы окружность радиуса 10 см длиной 2π × 10 ≈ 62.8 см. За двадцать минут он проходит 120 из 360 градусов, треть оборота, то есть треть этого расстояния, около 20.9 см. Путь конца стрелки — дуга, а область, которую заметает стрелка, — сектор с центральным углом 120°.

Дуга и площадь сектора составляют одну и ту же долю целого

Рассуждение с часами работает для любого сектора. Сектор с центральным углом θ занимает θ/360 полного оборота, поэтому его дуга составляет θ/360 длины окружности: длина дуги ℓ = 2πr × θ/360. Та же доля применима к площади, ведь сектор занимает θ/360 всего круга: площадь сектора S = πr² × θ/360. В круге радиуса 6 см сектор с углом 60° составляет одну шестую круга. Его дуга равна 2π × 6 ÷ 6 = 2π ≈ 6.28 см, а площадь π × 36 ÷ 6 = 6π ≈ 18.84 см². Обратный пример: дуга длиной 5π см в окружности радиуса 10 см составляет 5π ÷ 20π = 1/4 длины окружности, значит, её центральный угол равен 90°.

Длины дуг и площади секторов пропорциональны центральному углу: удвой угол, и обе величины удвоятся. Для хорд это неверно. В окружности радиуса 10 центральный угол 60° стягивает хорду длиной 10, поскольку треугольник с двумя радиусами равносторонний. Угол 120° стягивает хорду длиной примерно 17.3, а не 20. При этом длина дуги удваивается примерно с 10.5 до 20.9. Прямая хорда срезает изгиб, и чем шире угол, тем больше она сокращает путь. Но равным углам по-прежнему соответствуют равные хорды: в предложении 28 книги III Евклид доказывает, что в равных окружностях равные хорды отсекают равные дуги.

Слева показан сектор с центральным углом θ, радиусом r и дугой ℓ. Справа, в окружности радиуса 10, оранжевому углу 60° соответствуют хорда длиной 10 и дуга длиной около 10.5; синему углу 120° соответствует вдвое более длинная дуга, около 20.9, но хорда длиной всего около 17.3.

Площадь сектора без угла

Умножь длину дуги на половину радиуса и посмотри на результат: ½ × r × ℓ = ½ × r × 2πr × θ/360 = πr² × θ/360. Снова получается площадь сектора, значит, S = ½rℓ. Формула похожа на формулу площади треугольника, половину произведения основания на высоту, и не случайно: узкий сектор почти треугольник, основание которого — дуга, а высота — радиус. Сектор радиуса 8 см с дугой длиной 10 см имеет площадь ½ × 8 × 10 = 40 см², причём угол вообще не потребовался. На этой формуле основано вычисление площади боковой поверхности конуса.

Загружается 3D-модель

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Конус с r = 3 см и h = 4 см, поэтому образующая l равна 5 см. Нажми «Развернуть»: боковая поверхность распрямится в сектор радиуса 5 см. Его дуга оборачивалась вокруг основания, поэтому длина дуги равна 2π × 3 см, а центральный угол равен 360° × 3/5 = 216°. Площадь боковой поверхности ½ × 5 × 6π = 15π ≈ 47.12 см² — это πrl с панели.

Круговая диаграмма состоит из секторов

Круговая диаграмма — круг, разделённый на секторы, центральные углы которых составляют доли от 360°. Категории с долей 25% от общего числа соответствует сектор с центральным углом 0.25 × 360° = 90°. На диаграмме ниже 16 из 50 учеников купили 3 книги: 16 ÷ 50 = 32%, а 0.32 × 360° = 115.2°. Поскольку площадь пропорциональна углу, доля площади сектора равна доле количества, которое он представляет.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Нажми на сектор. На панели показаны его доля в процентах и центральный угол в градусах. Шесть углов в сумме дают 360°.
Сегмент (область между хордой и дугой) — это сектор минус треугольник. В окружности радиуса 10 см сегмент с углом 90° имеет площадь 25π − 50 ≈ 28.54 см²: четверть круга минус прямоугольный треугольник с катетами 10 и 10.

Дуга ℓ = 2πr × θ/360. Площадь S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.

  1. Радиус 6 см, центральный угол 60°. Найди длину дуги (возьми π = 3.14).
  2. Радиус 6 см, центральный угол 60°. Найди площадь сектора (возьми π = 3.14).
  3. Радиус окружности 10 см, длина дуги 5π см. Чему равен её центральный угол?
  4. Радиус сектора 8 см, длина дуги 10 см. Найди его площадь.
  5. На круговой диаграмме категория составляет 25% целого. Чему равен её центральный угол?
  6. Центральный угол сектора круговой диаграммы равен 72°. Какую долю целого он составляет?
    • 1/5
    • 1/4
    • 1/6
    • 72/100
  7. У конуса радиус основания 3 см, образующая 5 см. В развёртке его боковая поверхность — сектор. Чему равен центральный угол этого сектора?
  8. В одной окружности центральный угол удвоили. Какие величины удвоятся?
    • дуга и площадь сектора
    • дуга, площадь и хорда
    • только хорда
    • ничего
  9. Пиццу диаметром 30 см разрезали на 8 равных кусков. Какова длина корочки одного куска? (возьми π = 3.14)
  10. Найди площадь сегмента, отсекаемого центральным углом 90° в окружности радиуса 10 см (возьми π = 3.14).
  11. На сколько градусов повернётся минутная стрелка за 15 минут?
Частые ошибки
  • «Длина дуги = πr² × θ/360». Это формула площади. Длина дуги вычисляется на основе длины окружности 2πr и измеряется в см; площадь вычисляется на основе πr² и измеряется в см².
  • «Удвой угол, удвой хорду». Только дуги и площади пропорциональны углу. В окружности радиуса 10 хорды для углов 60° и 120° равны 10 и примерно 17.3.
  • «Дуга сектора в 45° в окружности диаметром 8 равна 2π × 8 × 45/360». В формуле используется радиус. При r = 4 дуга равна 2π × 4 × 45/360 = π ≈ 3.14, это вдвое меньше неверного ответа.
Заметка для учителяВ национальной учебной программе Южной Кореи 2022 года один из стандартов для 1–3 классов средней школы требует понимать связь центрального угла и дуги сектора и использовать её для нахождения длины дуги и площади. Программа также исключает сложные составные фигуры, поэтому ограничь упражнения секторами, сегментами и простыми сочетаниями. Частое затруднение — заучивание двух формул как отдельных фактов. Начни с циферблата или пиццы и спроси: «Какую долю круга это составляет?» Ученики, отвечающие «треть» ещё до записи вычислений, впоследствии редко путают формулы.
Главное
  • Сектор с центральным углом θ составляет θ/360 круга.
  • Дуга ℓ = 2πr × θ/360. Площадь S = πr² × θ/360 = ½ r ℓ.
  • Дуга и площадь пропорциональны центральному углу, хорда — нет.
  • Круговые диаграммы: угол = доля × 360°. Сегмент = сектор − треугольник.
Источники курса (5)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
  • Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
  • OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
  • Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
  • History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Проверено: 2026-10-19