Início›Geometria e desenho›Circunferências

Ângulos centrais e inscritos

Una qualquer ponto da circunferência às duas pontas de um diâmetro: o ângulo nesse ponto mede exatamente 90°. Euclides demonstrou isso na proposição 31 do livro III.

Três proposições do livro de Euclides sobre circunferências

ContextoO livro III dos Elementos, sobre circunferências, traz uma breve sequência ainda ensinada na escola. A proposição 20 diz que o ângulo central é o dobro do inscrito quando ambos subtendem o mesmo arco. A 21 usa isso: ângulos no mesmo segmento são iguais. A 31 diz que o ângulo numa semicircunferência é reto; a edição de D. E. Joyce observa que isso costuma ser chamado teorema de Tales. Cada demonstração tem poucas linhas e usa dois fatos do livro I: ângulos da base de um isósceles são iguais (proposição 5), e um ângulo externo é a soma dos dois internos não adjacentes (proposição 32).

Primeiro, os nomes. Tome dois pontos A e B numa circunferência de centro O. O ângulo AOB, com vértice no centro, é um ângulo central. Agora tome um terceiro ponto C na circunferência, do outro lado em relação ao arco AB. O ângulo ACB tem o vértice na circunferência e os dois lados são cordas. Ele é um ângulo inscrito e, nas palavras de Euclides, está sobre o arco AB. O teorema trata de um ângulo central e um ângulo inscrito que estão sobre o mesmo arco.

Por que o ângulo inscrito é metade do ângulo central

Esta é a demonstração de Euclides para a figura usual, em que o centro fica dentro do ângulo ACB. Trace a reta de C passando por O e deixe que ela encontre a circunferência de novo em D. O triângulo OCA é isósceles, porque OC e OA são raios, então seus ângulos em C e em A são iguais; chame cada um de x. O ângulo AOD é um ângulo externo desse triângulo, então vale x + x = 2x. O mesmo raciocínio do outro lado, com o triângulo OCB, dá o ângulo BOD = 2y, em que y é o ângulo OCB. Some as duas metades. O ângulo central AOB é 2x + 2y, e o ângulo inscrito ACB é x + y. O ângulo central é o dobro do inscrito.

À esquerda: central AOB (azul) e inscrito ACB (laranja) no mesmo arco AB. A linha tracejada de C por O até D divide a figura em dois isósceles, como na demonstração. À direita: AB é diâmetro, então o ângulo em C, e em qualquer outro ponto C′ da circunferência, é 90°.

Se o centro fica fora de ACB, aparecem os mesmos triângulos, mas você subtrai em vez de somar. Euclides também trata disso ao final da proposição 20. Nos dois casos, o inscrito é metade do central sobre o mesmo arco.

Inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais

Deslize C para qualquer ponto do mesmo arco. O ângulo central AOB não muda, portanto sua metade também não muda. Todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais, como afirma a proposição 21. Um fotógrafo em qualquer ponto desse arco vê o palco AB sob o mesmo ângulo. Com dois pontos C e D em arcos opostos da corda AB, os dois ângulos inscritos somam 180°, porque seus ângulos centrais completam uma volta inteira e somam 360°. É por isso que os ângulos opostos de um quadrilátero com os quatro vértices em uma circunferência somam 180° (Euclides, proposição 22).

O ângulo numa semicircunferência

Agora seja AB um diâmetro. O ângulo central AOB é um ângulo raso, de 180°, então todo ângulo inscrito sobre ele mede 90°. Essa é a proposição 31. Também funciona no sentido contrário: se C está na circunferência e o ângulo ACB mede 90°, o ângulo central sobre AB é 180°, então AB tem de ser um diâmetro. Isso dá um jeito de achar o centro de uma tábua redonda com um esquadro. Ponha o canto reto na borda, marque onde os dois braços cruzam a borda, e a reta entre as marcas é um diâmetro. Faça isso duas vezes, e os dois diâmetros se cruzam no centro.

Carregando

Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.

A e B são pontas de um diâmetro de uma circunferência de raio 1.25 (a circunferência não está desenhada); C começa sobre ela, com ângulo 90°. Arraste C um pouco para cima, para fora: o ângulo fica menor que 90°. Leve-o para baixo em direção a AB, para dentro, e passa de 90°. Ponha C no topo, acima do ponto médio de AB: 90° de novo, com 45° em A e B. A proposição 31 diz o mesmo: o ângulo num segmento maior que um semicírculo é menor que um reto; num menor, é maior.

Um triângulo retângulo sempre cabe numa circunferência cujo diâmetro é a hipotenusa. Com catetos 6 e 8, ela mede 10; a circunferência pelos três vértices tem raio 5 e centro no ponto médio da hipotenusa.

Um central mede 100°. Quanto mede um inscrito sobre o mesmo arco?
Um inscrito mede 35°. Quanto mede o central sobre o mesmo arco?
AB é diâmetro e C está na circunferência. CAB mede 25°. Quanto mede CBA?
C e D estão no mesmo arco. O ângulo ACB mede 40°. O ângulo ADB mede:
- 40°
- 80°
- 20°
- 140°
O ângulo central pelo arco maior AB é 240°. Quanto mede um inscrito que subtende esse arco maior?
Um quadrilátero tem todos os vértices na circunferência. Um ângulo mede 70°. Quanto mede o oposto?
No triângulo OAB, O é o centro e o ângulo central AOB mede 80°. Quanto mede o ângulo OAB?
C está na circunferência e ACB = 90°. O que se pode afirmar sobre AB?
- é um diâmetro
- é uma tangente
- é metade de um raio
- nada se pode afirmar
Um triângulo retângulo tem catetos 6 cm e 8 cm. Qual é o raio da circunferência pelos três vértices?
A e B são pontas de um diâmetro. P está dentro do círculo, não na circunferência. APB mede:
- mais de 90°
- exatamente 90°
- menos de 90°
- sempre 45°
C e D estão em arcos opostos da corda AB. ACB mede 40°. Quanto mede ADB?

Erros comuns

“O ângulo inscrito é igual ao ângulo central.” O inscrito é metade. O vértice na circunferência está mais longe, então o ângulo é mais estreito.
“O ângulo central é metade do ângulo inscrito.” É o contrário. Um central de 100° corresponde a um inscrito de 50°. Pense na semicircunferência: o central mede 180° e o inscrito, 90°.
“O ângulo numa semicircunferência só é 90° com C no topo.” Qualquer ponto da circunferência, exceto A e B, dá 90°. Arraste C pela circunferência no laboratório: só os ângulos em A e B mudam.

Nota do professorNo currículo nacional coreano de 2022, ângulos inscritos aparecem nos anos finais, do 1º ao 3º ano dessa etapa, num objetivo de compreender e justificar suas propriedades. Ângulo inscrito está na lista de termos. Propriedades ligadas à proporcionalidade ficam fora, como o teorema das cordas que se cruzam. O passo omitido é separar os casos: demonstra-se com centro dentro do ângulo e pressupõe-se o resto. Desenhe três figuras juntas, com o centro dentro, num lado e fora do ângulo, e pergunte qual passo muda em cada uma.

Pontos-chave

Um inscrito é metade do central sobre o mesmo arco (Euclides III.20).
Inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais (III.21).
O ângulo numa semicircunferência é 90° (III.31); pela recíproca, um inscrito de 90° subtende um diâmetro.
Inscritos em arcos opostos de uma corda somam 180°.

Fontes deste curso (5)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 3~4학년군 [4수03-06] 원의 중심, 반지름, 지름을 이해하고 그 성질, [4수03-07] 컴퍼스로 여러 가지 크기의 원 그리기(해설: 원의 성질과 연결); 용어 원의 중심, 반지름, 지름; 초등학교 5~6학년군 [6수03-15] 원 모양 물체의 원주와 지름을 측정해 원주율이 일정함을 알고 근삿값 사용(해설: (원주) ÷ (지름), 근삿값 3.14), [6수03-16] 원주와 원의 넓이(해설: 지름과 원주율로 원주를 측정 없이 구함, 직사각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해 원의 넓이), 고려 사항: 원주율에 대한 양감, 복잡한 계산은 계산기; 용어 원주, 원주율; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 호의 길이와 넓이, [9수03-18] 원의 현에 관한 성질과 접선에 관한 성질을 이해하고 정당화, [9수03-19] 원주각의 성질을 이해하고 정당화; 용어 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 접선, 접점, 접한다, 원주각; 고려 사항: 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레는 다루지 않음, 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않음, '접선의 길이'는 교수·학습 상황에서 사용 가능)
Textbook: OpenStax, Contemporary Mathematics, 10.4 Polygons, Perimeter, and Circumference (C = πd = 2πr, π = 3.141592654… is the ratio of circumference to diameter, d = 10 cm gives about 31.42 cm; Archimedes 287 to 212 BCE; inscribed and circumscribed perimeters for a circle of diameter 1: 4 sides 2.8284 and 4.00, 8 sides 3.0615 and 3.3137, 16 sides 3.1214 and 3.1826, 32 sides 3.1365 and 3.1517, 64 sides 3.1403 and 3.1441, 96 sides: openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/10-4-polygons-perimeter-and-circumference)
OpenStax Prealgebra 2e, 9.5 Solve Geometry Applications: Circles and Irregular Figures (d = 2r, C = 2πr = πd, A = πr², 3.14 or 22/7 for π and the calculator π key gives slightly different answers, a circumference of 47.1 cm gives a diameter of about 15 cm, a track shaped like a 105 m by 68 m rectangle with a semicircle at each end: openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-5-solve-geometry-applications-circles-and-irregular-figures)
Euclid’s Elements, D. E. Joyce edition, Clark University (Book I Defs. 15 to 18 and guide: circle as a plane figure, the word centre from a Greek word for a prod or poker, Euclid has no word for radius; Book III Def. 2 touch, Def. 6 segment, Def. 9 stand upon, Def. 10 sector; Prop. 1 and corollary: the centre lies on the line that cuts a chord into equal parts at right angles; Prop. 3; Prop. 15 the diameter is greatest; Prop. 16 corollary; Prop. 17 tangent from a point; Prop. 18 radius to the point of contact perpendicular to the tangent; Prop. 20 angle at the centre double the angle at the circumference; Prop. 21 angles in the same segment equal; Prop. 22 opposite angles of a quadrilateral in a circle; Prop. 28; Prop. 31 angle in a semicircle right, guide: often called Thales’ theorem: mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookIII/bookIII.html)
History for story blocks only: MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews, Archimedes of Syracuse (287 to 212 BC; Measurement of the Circle: π between 3 10/71 and 3 1/7 from inscribed and circumscribed 96-gons; On the sphere and cylinder: the surface of a sphere is four times a great circle: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/) and A history of Pi (Rhind papyrus about 1650 BC with good evidence for 4 × (8/9)² = 3.16; Archimedes 223/71 < π < 22/7 from 96 sides; Zu Chongzhi (430 to 501) 355/113; William Jones first used π with its present meaning in 1706, Euler adopted it in 1737: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages/).

Data de verificação: 2026-10-19