edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Meetkunde en tekeningen

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke lichamen

Voor een ontbijtgranendoos, een blik, een ijshoorntje en een bal bestaan formules voor hoeveel karton eromheen past en hoeveel erin kan. Vouw elk lichaam in 3D uit, verander de afmetingen met schuifknoppen en bekijk hoe de getallen veranderen.

Voortgang

Over deze cursus

Archimedes vroeg om een bol in een cilinder op zijn graf te laten uithakken, omdat de bol precies twee derde van de inhoud van de cilinder heeft. Het MacTutor-archief vertelt hoe Cicero, als ambtenaar op Sicilië, het graf zocht dat de inwoners van Syracuse waren vergeten. Hij vond het overwoekerd buiten een stadspoort en herkende het aan die afbeelding. Ruimtemeetkunde vergelijkt van oudsher vormen met elkaar. Dat blijf je hier doen: een kegel vult een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte voor een derde.

De zeven hoofdstukken beginnen met uitslagen en oppervlakte: een kubus met ribben van 4 cm wordt omhuld door 96 cm² karton. Daarna komen de inhoud van prisma's, cilinders, piramiden en kegels, en bollen. Vervolgens leer je de formule van Euler: vlakken min ribben plus hoekpunten is 2 voor elk gewoon veelvlak. Euler beschreef die regel in een brief aan Goldbach in 1750. In het laatste hoofdstuk schaal je een lichaam. Elke lengte verdubbelen vraagt 4 keer zoveel karton en geeft 8 keer zoveel inhoud. In het 3D-lab vouw je lichamen uit tot een uitslag, lees je waarden af die met de schuifregelaars veranderen, zie je de cilinder die precies om een bol past en tel je F, E en V op een veelvlak.

Je leert ook de gebruikelijke fouten herkennen. Oppervlakte geef je in cm², inhoud in cm³. Een blik met een middellijn van 4 cm heeft r = 2, niet 4. In de inhoudsformule van een kegel staat vooraan ⅓. En een kubus heeft 8 hoekpunten en 12 ribben, niet andersom.

Voor je begint

Bij cilinders, kegels en bollen gebruik je steeds π en de straal. Daarom helpt het als je eerst Cirkels hebt gevolgd en de oppervlakte van rechthoeken en driehoeken kent. Een vel papier is ook handig: je krijgt het voorstel een buis rond een bal te rollen en een papieren buis open te knippen om te zien hoe de mantel plat komt te liggen.

Als je klaar bent

Je vouwt een kubus uit en verklaart 96 cm² karton bij 4 cm ribben. Je berekent 60 liter voor 50 bij 30 bij 40 cm. Je ziet een bliketiket als rechthoek van 2πr breed, toont een derde inhoud voor een kegel, controleert Euler en verklaart 8 keer inhoud na verdubbelen.

  1. 1Uitslagen en oppervlakteOm een kubus met ribben van 4 cm past precies 96 cm² karton. Als je hem plat openvouwt, zie je alles tegelijk.
  2. 2Inhoud van prisma'sEen aquarium van 50 cm lang, 30 cm breed en 40 cm diep bevat 60 000 cm³ water, precies 60 liter.
  3. 3CilindersHaal het etiket van een blik en je krijgt een rechthoek met breedte gelijk aan de omtrek van het blik, 2πr.
  4. 4Piramides en kegelsWater uit een kegel vult een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte precies voor een derde.
  5. 5BollenArchimedes wilde een bol in een cilinder op zijn graf laten beitelen: de bol heeft precies twee derde van de cilinderinhoud.
  6. 6Vlakken, ribben en hoekpunten: de formule van EulerTel de vlakken, trek de ribben af en tel de hoekpunten van een gewoon veelvlak erbij: de uitkomst is steeds 2.
  7. 7Vergroten: verdubbel de lengtesVerdubbel elke lengte van een doos: er is 4 keer zoveel karton nodig en er past 8 keer zoveel in.

Verwante cursussen

  • Hoeken
    Vijf hoofdstukken over hoeken: meten met een gradenboog, de soorten benoemen, de paren die samen 90° en 180° zijn, de acht hoeken waar een lijn twee evenwijdige lijnen snijdt, en de hoekensom van driehoeken en veelhoeken. Het goniometrielab op elke pagina heeft een gradenboog, twee evenwijdige lijnen en een driehoek waarvan je de hoekpunten kunt verslepen.
  • Goniometrie
    Zes hoofdstukken over goniometrie in rechthoekige driehoeken en op de eenheidscirkel. Je benoemt de zijden van een rechthoekige driehoek, definieert sinus, cosinus en tangens als verhoudingen, leert de exacte waarden voor 30°, 45° en 60°, berekent driehoeken met één zijde en één hoek, meet onbereikbare hoogten, schakelt over op radialen en de eenheidscirkel en tekent de sinusgolf. In het goniometrielab kun je een rechthoekige driehoek vergroten of verkleinen, hoogten meten en een eenheidscirkel met de bijbehorende grafiek bekijken.
  • Breuken · Getallen en rekenen
    Tien hoofdstukken over breuken, van gelijke delen van één geheel tot het delen van een breuk door een andere breuk. Elk hoofdstuk heeft tekeningen, een breukenstrook om in te kleuren, uitgewerkte voorbeelden en 10 tot 14 oefenvragen met de berekening erbij.
  • Lineaire vergelijkingen · Algebra
    Acht hoofdstukken over vergelijkingen zoals 3x + 5 = 20: wat een oplossing is, de vier eigenschappen van gelijkheid, vergelijkingen met de variabele aan beide kanten, de algemene aanpak, breuken en kommagetallen, en formules. In een grafieklab zie je elk lid van een vergelijking als lijn, zodat je de oplossing kunt zien waar de lijnen elkaar snijden.
Bronnen van deze cursus (8)
  • (checked 2026-10-17)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 초등학교 5~6학년군 [6수03-03]~[6수03-08] 직육면체·정육면체·각기둥·각뿔·원기둥·원뿔·구, 원기둥의 전개도, "각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않는다", 원주율의 근삿값 3.14, [6수03-17]~[6수03-19] 직육면체와 정육면체의 겉넓이, 1cm³·1m³, 부피; 3~4학년군 [4수03-17] 들이 1L·1mL; 중학교 1~3학년군 [9수03-06] 부채꼴, [9수03-07] 다면체와 회전체, [9수03-08] 입체도형의 겉넓이와 부피, 도형의 닮음·닮음비; 오일러 공식은 성취기준에 이름으로 없음)
  • Textbook: OpenStax Prealgebra 2e, 9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area (openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area)
  • Reference: Wolfram MathWorld, Polyhedral Formula (mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html)
  • AMS Feature Column, Euler's Polyhedral Formula (ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula)
  • BIPM SI Brochure and NIST SI Units - Volume (litre and cubic metre)
  • History block only: MacTutor, Archimedes biography (On the Sphere and Cylinder, sphere = 2/3 of the circumscribed cylinder, the figure on his tomb, Cicero's search; mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes/)
  • MacTutor, A history of Topology (Euler's 1750 letter to Goldbach with v − e + f = 2; mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Topology_in_mathematics).

Geraadpleegd: 2026-10-17