Cilinders

Haal het etiket van een blik en je krijgt een rechthoek met breedte gelijk aan de omtrek van het blik, 2πr.

Knip een papieren koker recht open

Pak een lege toiletrol en een schaar. Knip eenmaal recht van boven naar beneden en maak hem plat. Je krijgt een rechthoek met dezelfde hoogte als de koker. De breedte is de afstand eenmaal rond de cirkel: de omtrek 2πr. Druk op Uitvouwen om hetzelfde te zien: de mantel opent langs de achternaad, houdt zijn breedte tijdens het rechtmaken en eindigt met twee cirkels aan de lange randen van de rechthoek.

De mantel is een rechthoek van 2πr breed en h hoog

De gebogen mantel, waarop de meesten vastlopen, heeft dus oppervlakte 2πr × h = 2πrh. Tel de twee eindcirkels erbij: A = 2πr² + 2πrh, ook te schrijven als 2πr(r + h). Je begint met r = 2 cm en h = 5 cm: oppervlakte 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm².

Echte voorwerpen hebben niet altijd beide cirkels. Een beker zonder deksel heeft alleen een bodem: oppervlakte πr² + 2πrh. Een pijp of kartonnen koker heeft geen cirkels, alleen 2πrh telt. In een echte opgave is zorgvuldig lezen welke oppervlakken er zijn al het halve werk.

Terug naar etiketten. Bij straal 4 cm en hoogte 10 cm is de oppervlakte 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm². De breedte moet 2π × 4 ≈ 25.1 cm zijn, in werkelijkheid iets meer voor overlap en lijm. Diezelfde rechthoek zie je bij alles rond een cilinder: het karton van een toiletrol, metaal tot een pijp gerold en een poster om een zuil.

De prismaregel met een cirkel als grondvlak

Een cilinder heeft twee gelijke, evenwijdige cirkelvormige grondvlakken en overal dezelfde doorsnede ertussen. Dus weer het prisma-idee: V = grondvlakoppervlakte × hoogte = πr²h. Voor r = 2 cm en h = 5 cm is V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³. π is de verhouding tussen cirkelomtrek en diameter, ongeveer 3.14159. Laat antwoorden als veelvouden van π staan, zoals 20π, en gebruik pas op het einde kommagetallen om opeenstapeling van afrondingsfouten te voorkomen.

De straal telt zwaarder dan de hoogte. Verdubbel de hoogte en de inhoud verdubbelt. Verdubbel de straal en het grondvlak wordt viermaal zo groot, dus de inhoud ook. Stel r = 2 in en noteer de inhoud; probeer daarna r = 4 met dezelfde hoogte. Daarom bevat een iets bredere beker veel meer dan een iets hogere.