원기둥

통조림 캔의 상표 종이를 떼어 펴면 가로가 캔의 둘레 2πr인 직사각형이 됩니다.

휴지 심을 세로로 잘라 펴 보세요

다 쓴 휴지 심과 가위를 준비하세요. 위에서 아래로 곧게 한 번 자르고 평평하게 펴면 직사각형이 나옵니다. 세로는 휴지 심의 높이 그대로입니다. 가로는 원을 한 바퀴 도는 길이인 원주 2πr입니다. 정말 같은지 궁금하면 자르기 전에 휴지 심 둘레에 실을 한 바퀴 감아 길이를 재어 두세요. 편 직사각형의 가로와 견주면 길이가 같습니다. 모형에서 펼치기를 눌러도 똑같은 일이 일어납니다. 굽은 옆면이 뒤쪽 이음매에서 열리고, 휘어진 면이 곧게 펴지는 동안에도 폭은 그대로입니다. 마지막에는 위아래 두 원이 직사각형의 긴 변에 맞닿습니다.

옆면은 가로 2πr, 세로 h인 직사각형

그래서 많은 사람이 막히는 굽은 옆면의 넓이(옆넓이)는 2πr × h = 2πrh입니다. 여기에 위아래 원 두 개를 더하면 겉넓이 A = 2πr² + 2πrh이고, 2πr(r + h)로 묶어 쓸 수도 있습니다. 교과서식으로 쓰면 (원기둥의 겉넓이) = (밑넓이) × 2 + (옆넓이)이고, 옆넓이는 (밑면의 둘레) × (높이)입니다. 모형에 처음 나오는 원기둥은 r = 2 cm, h = 5 cm이므로 겉넓이는 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm²입니다.

실제 물건에는 원이 두 개 다 있지 않을 때가 많습니다. 뚜껑 없는 컵은 바닥 하나뿐이라 겉넓이가 πr² + 2πrh입니다. 파이프나 휴지 심은 원이 아예 없으니 2πrh만 셉니다. 문제를 풀 때는 어떤 면이 실제로 있는지 읽어 내는 데서 절반이 끝납니다. 문제에 「뚜껑이 없는」, 「양쪽이 뚫린」 같은 말이 있는지 먼저 찾아 밑줄을 그어 두세요.

다시 상표 이야기입니다. 반지름 4 cm, 높이 10 cm인 캔에 두를 상표의 넓이는 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm²입니다. 상표의 가로는 2π × 4 ≈ 25.1 cm여야 하고, 실제로는 양 끝을 조금 겹쳐 풀로 붙여야 하니 이보다 조금 더 깁니다. 원기둥 둘레에 무언가를 감을 때마다 이 직사각형이 나옵니다. 두루마리 휴지의 심, 둥글게 말아 만든 금속 파이프, 기둥에 감은 포스터가 모두 그렇습니다. 참치 캔처럼 낮고 넓은 캔이든 음료 캔처럼 높고 좁은 캔이든 계산 방법은 같습니다.

부피는 각기둥과 같은 규칙으로 구합니다

원기둥도 크기가 같은 두 원이 나란히 마주 보고, 그 사이 어디를 잘라도 단면이 같습니다. 각기둥과 같은 구조이니 부피도 밑넓이 × 높이, V = πr²h입니다. r = 2 cm, h = 5 cm이면 V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³입니다. π는 어떤 원이든 원주를 지름으로 나눈 값인 원주율로, 약 3.14159입니다. 답은 20π처럼 π를 남겨 두었다가 맨 마지막에만 소수로 바꾸세요. 그래야 중간에 반올림한 오차가 쌓이지 않습니다. 초등학교에서는 원주율을 3.14로 계산하는데, 그러면 20 × 3.14 = 62.8 cm³가 나옵니다.

원기둥에서는 반지름이 높이보다 훨씬 힘이 셉니다. 높이를 2배로 하면 부피도 2배입니다. 반지름을 2배로 하면 밑넓이가 4배가 되니 부피도 4배입니다. 반지름을 3배로 하면 밑넓이가 9배이니 부피도 9배입니다. 모형에서 r = 2일 때의 부피를 적어 두고, 높이는 그대로 둔 채 r = 4로 바꿔 보세요. 폭이 조금 넓은 컵이 키가 조금 큰 컵보다 훨씬 많이 담기는 까닭도 여기에 있습니다.