Cilindros

Despega la etiqueta de una lata y queda plana como un rectángulo cuyo ancho es la circunferencia de la lata, 2πr.

Corta un tubo de papel en línea recta

Busca un tubo de papel higiénico vacío y unas tijeras. Corta una vez, en línea recta de arriba abajo, y aplánalo. Obtienes un rectángulo. Su altura es la altura del tubo. ¿Y su ancho? Es la distancia de una vuelta completa al círculo, la circunferencia, 2πr. El modelo hace lo mismo cuando pulsas Desplegar: la superficie curva se abre por la costura de atrás, conserva su ancho mientras la curva se endereza y termina con los dos círculos tocando los lados largos del rectángulo.

El lado es un rectángulo de 2πr de ancho y h de alto

Así que la superficie curva, la parte que frena a la mayoría, tiene un área de 2πr × h = 2πrh. Suma los dos círculos de los extremos y tienes toda la superficie: A = 2πr² + 2πrh, que también puede escribirse 2πr(r + h). El cilindro del modelo empieza con r = 2 cm y h = 5 cm, así que su superficie es 8π + 20π = 28π ≈ 87.96 cm².

Los objetos reales no siempre tienen los dos círculos. Un vaso sin tapa solo tiene fondo, así que su superficie es πr² + 2πrh. Un tubo o un rollo de cartón no tiene ningún círculo, y solo cuenta 2πrh. En un problema real, la mitad del trabajo es leer qué superficies hay de verdad.

Volvamos a las etiquetas. La etiqueta de una lata de 4 cm de radio y 10 cm de altura tiene un área de 2π × 4 × 10 = 80π ≈ 251.3 cm². Debe medir 2π × 4 ≈ 25.1 cm de ancho, y en la práctica un poco más para que los extremos se superpongan y se peguen. El mismo rectángulo aparece cada vez que algo envuelve un cilindro: el cartón de dentro de un rollo de papel higiénico, una lámina de metal enrollada en un tubo, un cartel alrededor de una columna.

El volumen sigue la regla del prisma con un círculo como base

Un cilindro tiene dos bases circulares iguales y paralelas, y la misma sección transversal en todo el espacio entre ellas. Es otra vez la idea del prisma, así que V = área de la base × altura = πr²h. Para r = 2 cm y h = 5 cm, V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62.83 cm³. El símbolo π es la razón entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro, aproximadamente 3.14159. Deja las respuestas como múltiplos de π, como 20π, y conviértelas en decimales solo al final, para que los errores de redondeo no se acumulen por el camino.

El radio importa más que la altura. Duplica la altura y el volumen se duplica. Duplica el radio y el área de la base se hace cuatro veces mayor, y el volumen también. Pon r = 2 en el modelo y anota el volumen; luego prueba r = 4 con la misma altura. Por eso un vaso un poco más ancho contiene mucho más que uno un poco más alto.