Volumen de los prismas

Una pecera de 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de fondo contiene 60 000 cm³ de agua, que son exactamente 60 litros.

¿Cuántas botellas de 1 litro llenan la pecera?

Prueba esto antes de seguir leyendo. La pecera de la entrada mide 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de fondo, y la llenas con botellas de 1 litro. ¿Cuántas botellas? Anota primero una estimación y luego un cálculo si puedes. La respuesta está al final de la sección siguiente. Para llegar a ella solo hacen falta dos ideas: contar cubos y saber cuánto es un litro.

Capas de cubos de un centímetro

El volumen responde una pregunta: ¿cuántos cubos unidad caben dentro? Imagina una caja de 6 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. La capa de abajo tiene 6 × 4 = 24 cubos de 1 cm. Tres capas llegan arriba, así que la caja contiene 24 × 3 = 72 cubos, o 72 cm³. Nadie cuenta los cubos uno a uno. La imagen está ahí porque explica la fórmula: volumen = largo × ancho × altura, o V = lwh.

Ahora el litro. Un litro son 1000 cm³, el espacio dentro de un cubo de 10 cm de lado. La pecera contiene 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³, y 60 000 ÷ 1000 = 60. Sesenta botellas. Un metro cúbico es un cubo de 100 cm de lado, así que 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³ = 1000 litros. Aquí hay un patrón que vale la pena notar. Cuando conviertes una unidad de longitud, un volumen cambia según el cubo del factor de conversión, no según el factor mismo: cien veces la longitud significa un millón de veces los cubos.

Una regla para todos los prismas: área de la base por altura

Un prisma es un cuerpo con dos extremos iguales y paralelos (las bases) unidos por caras laterales rectangulares y planas. Córtalo en cualquier punto a lo largo y el corte se ve igual, como las rebanadas de un pan de molde, así que cada rebanada tiene el área de la base, B, y apilar h unidades de esas rebanadas da V = B × h. Cuando un prisma está tumbado, esa misma medida suele llamarse largo.

Una carpa canadiense y una caja triangular de chocolates son prismas triangulares. La base es un triángulo de base b y altura t, así que B = ½ b t y V = ½ b t L, donde L es el largo. El modelo empieza con b = 4 cm, t = 3 cm y L = 6 cm, lo que da V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³.

Su superficie son dos triángulos y tres rectángulos. Los dos triángulos juntos dan b × t, y los tres rectángulos miden todos L de largo y cada uno es tan ancho como un lado del triángulo. Toma un triángulo rectángulo con catetos de 3 cm y 4 cm; el tercer lado mide 5 cm. Con un largo de 10 cm, el área de la superficie es 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm². El modelo usa un triángulo isósceles, así que sus dos lados inclinados son iguales: s = √((b/2)² + t²).

Trabajar hacia atrás es igual de frecuente. Una caja debe contener 120 cm³ y su base mide 6 cm × 4 cm, así que la altura tiene que ser 120 ÷ 24 = 5 cm. Constructores, cocineros y transportistas hacen esto todos los días. Saben el volumen que necesitan y el espacio de suelo que tienen, y la altura sale de los dos.