Volume des prismes

Un aquarium de 50 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de profondeur contient 60 000 cm³ d'eau, soit exactement 60 litres.

Combien de bouteilles de 1 litre remplissent l'aquarium ?

Essaie avant de lire la suite. L'aquarium de l'introduction mesure 50 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de profondeur, et tu le remplis avec des bouteilles de 1 litre. Combien de bouteilles ? Note d'abord une estimation, puis un calcul si tu peux. La réponse est à la fin de la section suivante. Pour y arriver, il suffit de deux idées : compter des cubes, et savoir quelle est la taille d'un litre.

Des couches de cubes d'un centimètre

Le volume répond à une seule question : combien de cubes unités tiennent à l'intérieur ? Imagine une boîte de 6 cm de long, 4 cm de large et 3 cm de haut. La couche du fond contient 6 × 4 = 24 cubes de 1 cm. Trois couches atteignent le haut, donc la boîte contient 24 × 3 = 72 cubes, soit 72 cm³. Personne ne compte les cubes un par un. L'image est là parce qu'elle explique la formule, volume = longueur × largeur × hauteur, ou V = lwh.

Passons au litre. Un litre vaut 1000 cm³, l'espace à l'intérieur d'un cube de 10 cm de côté. L'aquarium contient 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³, et 60 000 ÷ 1000 = 60. Soixante bouteilles. Un mètre cube est un cube de 100 cm de côté, donc 1 m³ = 100 × 100 × 100 = 1 000 000 cm³ = 1000 litres. Il y a là une régularité à remarquer. Quand on convertit une unité de longueur, un volume change selon le cube du facteur de conversion, pas selon le facteur lui-même : cent fois la longueur, c'est un million de fois plus de cubes.

Une règle pour tous les prismes : aire de la base fois hauteur

Un prisme droit est un solide qui a deux extrémités identiques et parallèles (les bases) reliées par des faces latérales rectangulaires. Coupe-le n'importe où dans sa longueur et la section est la même, comme les tranches d'un pain de mie : chaque tranche a l'aire de la base, B, et empiler h unités de ces tranches donne V = B × h. Quand un prisme est couché sur le côté, cette même mesure s'appelle généralement sa longueur.

Une tente canadienne et une boîte de chocolats triangulaire sont toutes deux des prismes à base triangulaire. La base est un triangle de base b et de hauteur t, donc B = ½ b t et V = ½ b t L, où L est la longueur. Le modèle démarre avec b = 4 cm, t = 3 cm et L = 6 cm, ce qui donne V = ½ × 4 × 3 × 6 = 36 cm³.

Sa surface se compose de deux triangles et de trois rectangles. Les deux triangles ensemble font b × t, et les trois rectangles ont tous la longueur L, chacun aussi large qu'un côté du triangle. Prends un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm ; le troisième côté mesure 5 cm. Avec une longueur de 10 cm, l'aire totale vaut 2 × 6 + 10 × (3 + 4 + 5) = 12 + 120 = 132 cm². Le modèle utilise un triangle isocèle, dont les deux côtés obliques sont égaux : s = √((b/2)² + t²).

Raisonner à l'envers arrive tout aussi souvent. Une boîte doit contenir 120 cm³ et sa base mesure 6 cm × 4 cm : la hauteur doit donc valoir 120 ÷ 24 = 5 cm. Les maçons, les cuisiniers et les transporteurs le font tous les jours. Ils connaissent le volume dont ils ont besoin et la surface au sol dont ils disposent, et la hauteur se déduit des deux.