Sphères

Archimède a demandé qu'on grave sur son tombeau une sphère dans un cylindre, car la sphère a exactement les deux tiers du volume du cylindre.

Une gravure retrouvée sous les buissons

Pourquoi un mathématicien voudrait-il ce dessin sur sa tombe ? Il y a environ 2200 ans, Archimède de Syracuse démontra deux résultats dans son ouvrage De la sphère et du cylindre. Le premier : l'aire d'une sphère vaut quatre fois l'aire de son grand cercle (le plus grand cercle qu'on puisse y découper), donc A = 4πr². Le second : son volume vaut les deux tiers du volume du cylindre qui l'entoure tout juste, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Plutarque écrit que, de toutes ses découvertes, c'est celle qu'Archimède demanda à sa famille et à ses amis de placer sur sa tombe : un cylindre contenant une sphère, avec le rapport entre les deux inscrit à côté.

Une peau d'orange ne se met pas à plat

Archimède eut besoin d'arguments astucieux, car une sphère n'offre rien à dérouler. C'est l'ensemble de tous les points situés à la même distance r d'un centre, sans face plane, sans arête et sans sommet. Un cylindre ou un cône peut être découpé et mis à plat. Une sphère non, à moins de l'étirer ou de la déchirer. Essaie avec une orange : aplatis la peau et elle se fend ou se plisse toujours quelque part. Les cartographes rencontrent le même problème dans l'autre sens, et c'est pourquoi toute carte plane du monde déforme certaines surfaces.

Le cylindre qui entoure la sphère

Appuie sur le bouton Cylindre d’Archimède dans le modèle. Le cylindre a le rayon r de la sphère et une hauteur de 2r. Sa face courbe se déroule en un rectangle de largeur 2πr et de hauteur 2r : son aire vaut donc 4πr², exactement l'aire de la sphère. Compte aussi ses deux extrémités circulaires et la surface totale du cylindre vaut 6πr² ; les 4πr² de la sphère en sont les deux tiers. La surface comme le volume valent les deux tiers de ceux du cylindre, la paire de résultats qu'Archimède aimait tant.

Voici une curiosité à vérifier dans le modèle. Une sphère de rayon 3 a une surface de 4π × 9 = 36π et un volume de ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, tous deux environ 113.1. Cela n'arrive que pour r = 3, car 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ seulement quand r = 3. Les unités restent différentes (cm² contre cm³) : les nombres coïncident, pas les grandeurs. Les sphères plus grandes ont le plus grand nombre pour le volume. Les plus petites ont le plus grand nombre pour l'aire.

Un demi-melon et un ballon de 22 cm

Coupe une sphère en deux et tu obtiens une demi-sphère. Sa partie courbe vaut la moitié de 4πr², soit 2πr². Une moitié pleine, comme un demi-melon, a aussi un disque plat d'aire πr², donc sa surface totale vaut 3πr². Pour r = 5 cm, cela fait 75π ≈ 235.6 cm². Le volume vaut la moitié de celui de la sphère, ⅔ πr³. Un ballon de 22 cm de diamètre a r = 11 cm. Sa surface vaut 4π × 121 ≈ 1520.5 cm² et son volume ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 cm³ : il contient donc environ 5.6 litres d'air.