Шары

Архимед просил высечь на своей гробнице шар внутри цилиндра, потому что объём шара составляет ровно две трети объёма цилиндра.

Рельеф, найденный в кустах

Зачем математику такой рисунок на могиле? Около 2200 лет назад Архимед Сиракузский доказал два результата в сочинении «О шаре и цилиндре». Первый: площадь поверхности шара в четыре раза больше площади его большого круга (самого большого круга, который можно получить сечением), поэтому A = 4πr². Второй: его объём составляет две трети объёма цилиндра, который точно его облегает, V = ⅔ × πr² × 2r = ⁴⁄₃ πr³. Плутарх пишет, что из всех своих открытий именно это Архимед просил родных и друзей поместить на его могиле: цилиндр, заключающий в себе шар, и рядом записанное отношение между ними.

Апельсиновая кожура не ляжет плоско

Архимеду понадобились хитрые рассуждения, потому что у шара нечего разворачивать. Сфера является множеством всех точек на одном и том же расстоянии r от центра, без плоских граней, рёбер и углов. Цилиндр или конус можно разрезать и положить плоско. Шар нельзя, если не растянуть или не порвать. Попробуй с апельсином: прижми кожуру к столу, и она обязательно где-нибудь лопнет или сморщится. Картографы сталкиваются с той же задачей с другой стороны, поэтому любая плоская карта мира искажает некоторые площади.

Цилиндр, который облегает шар

Нажми в модели кнопку «Цилиндр Архимеда». У цилиндра радиус шара r и высота 2r. Его боковая поверхность разворачивается в прямоугольник шириной 2πr и высотой 2r, поэтому её площадь 4πr², ровно площадь сферы. Добавь два круглых основания, и вся поверхность цилиндра будет 6πr²; 4πr² сферы составляют две трети от неё. И поверхность, и объём выходят по две трети от цилиндра: именно эта пара результатов так нравилась Архимеду.

Вот любопытный факт, который можно проверить в модели. У шара радиуса 3 поверхность 4π × 9 = 36π и объём ⁴⁄₃ π × 27 = 36π, оба примерно 113.1. Так бывает только при r = 3, потому что 4πr² = ⁴⁄₃ πr³ только при r = 3. Единицы при этом разные (см² и см³), так что числа совпадают, а величины нет. У больших шаров больше число объёма. У маленьких больше число площади.

Половина дыни и мяч 22 см

Разрежь шар пополам, и получится полушар. Его кривая часть равна половине 4πr², то есть 2πr². У сплошной половинки, как у половины дыни, есть ещё плоский круг площадью πr², поэтому вся её поверхность 3πr². При r = 5 см это 75π ≈ 235.6 см². Объём равен половине объёма шара, ⅔ πr³. У мяча диаметром 22 см r = 11 см. Его поверхность 4π × 121 ≈ 1520.5 см², а объём ⁴⁄₃ π × 1331 ≈ 5575 см³, так что в нём около 5.6 литра воздуха.